【題目】已知函數(shù).
(1)若,求函數(shù)的極值;
(2)若在區(qū)間內(nèi)有唯一的零點,求的取值范圍.
【答案】(1)極小值,無極大值.(2)
【解析】分析:⑴當(dāng)時,化簡函數(shù)的解析式,求出定義域,函數(shù)的導(dǎo)數(shù),求出極值點,利用導(dǎo)函數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性,求解極值即可
⑵法一:利用,通過導(dǎo)函數(shù)為,構(gòu)造新函數(shù),通過分類討論求解即可
法二:令,由,得,設(shè),則,,問題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象在恰有一個交點問題,即可求出的取值范圍
詳解:(1)當(dāng)時,,,
,
由,令,得,
當(dāng)變化時,,的變化如下表:
- | 0 | + | |
↘ | 極小值 | ↗ |
故函數(shù)在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,有極小值,無極大值.
(2)解法一:
,
令,得,設(shè),
則在有唯一的零點等價于在有唯一的零點,
當(dāng)時,方程的解為,滿足題意;
當(dāng)時,由函數(shù)的圖象的對稱軸,函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,,所以滿足題意;
當(dāng),時,,此時方程的解為,不符合題意;
當(dāng),時,由,只需,得,
綜上,.
解法二:
,
令,由,得,
設(shè),則,,
問題轉(zhuǎn)化為直線與的圖象在恰有一個交點問題,
又當(dāng)時,單調(diào)遞增,
故直線與函數(shù)的圖象恰有一個交點,當(dāng)且僅當(dāng).
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知六棱錐的底面是正六邊形,平面,,給出下列結(jié)論:
①;
②直線平面;
③平面平面;
④異面直線與所成角為;
⑤直線與平面所成角的余弦值為.
其中正確的有_______(把所有正確的序號都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】我國古代著名的周髀算經(jīng)中提到:凡八節(jié)二十四氣,氣損益九寸九分六分分之一;冬至晷長一丈三尺五寸,夏至晷長一尺六寸意思是:一年有二十四個節(jié)氣,每相鄰兩個節(jié)氣之間的日影長度差為分;且“冬至”時日影長度最大,為1350分;“夏至”時日影長度最小,為160分則“立春”時日影長度為
A. 分B. 分C. 分D. 分
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形OABC中,O為坐標(biāo)原點,點A的坐標(biāo)為(10,0),點C的坐標(biāo)為(0,10),分別將線段OA和AB十等分,分點分別記為A1 , A2 , …,A9和B1 , B2 , …,B9 , 連接OBi , 過Ai作x軸的垂線與OBi , 交于點 .
(1)求證:點 都在同一條拋物線上,并求拋物線E的方程;
(2)過點C作直線l與拋物線E交于不同的兩點M,N,若△OCM與△OCN的面積之比為4:1,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一元二次函數(shù).
(1)寫出該函數(shù)的頂點坐標(biāo);
(2)如果該函數(shù)在區(qū)間上的最小值為,求實數(shù)的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校課題組為了研究學(xué)生的數(shù)學(xué)成績和物理成績之間的關(guān)系,隨機抽取高二年級20名學(xué)生某次考試成績(百分制)如下表所示:
序號 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 |
數(shù)學(xué)成績 | 95 | 75 | 80 | 94 | 92 | 65 | 67 | 84 | 98 | 71 | 67 | 93 | 64 | 78 | 77 | 90 | 57 | 83 | 72 | 83 |
物理成績 | 90 | 63 | 72 | 87 | 91 | 71 | 58 | 82 | 93 | 81 | 77 | 82 | 48 | 85 | 69 | 91 | 61 | 84 | 78 | 86 |
若數(shù)學(xué)成績90分(含90分)以上為優(yōu)秀,物理成績85(含85分)以上為優(yōu)秀,則有多少把握認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與物理成績有關(guān)系( )
A. 95% B. 97.5% C. 99.5% D. 99.9%
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓的左、右焦點分別為,,為橢圓上一點,且垂直于軸,連結(jié)并延長交橢圓于另一點,設(shè).
(1)若點的坐標(biāo)為,求橢圓的方程及的值;
(2)若,求橢圓的離心率的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某班級有50名學(xué)生,其中有30名男生和20名女生,隨機詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測驗中的成績,五名男生的成績分別為86,94,88,92,90,五名女生的成績分別為88,93,93,88,93,下列說法正確的是( )
A.這種抽樣方法是一種分層抽樣
B.這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣
C.這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差
D.該班男生成績的平均數(shù)大于該班女生成績的平均數(shù)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】2018年至2020年,第六屆全國文明城市創(chuàng)建工作即將開始.在2017年9月7日召開的攀枝花市創(chuàng)文工作推進會上,攀枝花市委明確提出“力保新一輪提名城市資格、確保2020年創(chuàng)建成功”的目標(biāo).為了確保創(chuàng)文工作,今年初市交警大隊在轄區(qū)開展“機動車不禮讓行人整治行動” .下表是我市一主干路口監(jiān)控設(shè)備抓拍的5個月內(nèi) “駕駛員不禮讓斑馬線”行為統(tǒng)計數(shù)據(jù):
月份 | |||||
違章駕駛員人數(shù) |
(Ⅰ)請利用所給數(shù)據(jù)求違章人數(shù)與月份之間的回歸直線方程;
(Ⅱ)預(yù)測該路口7月份不“禮讓斑馬線”違章駕駛員的人數(shù);
(Ⅲ)交警從這5個月內(nèi)通過該路口的駕駛員中隨機抽查了50人,調(diào)查“駕駛員不禮讓斑馬線”行為與駕齡的關(guān)系,得到如下列聯(lián)表:
不禮讓斑馬線 | 禮讓斑馬線 | 合計 | |
駕齡不超過年 | |||
駕齡年以上 | |||
合計 |
能否據(jù)此判斷有97.5%的把握認(rèn)為“禮讓斑馬線”行為與駕齡有關(guān)?
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