Question

已知f（x）=alnx+

1

2

x²（a＞0），若對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x₁、x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2恒成立，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：依題意知，f′（x）=

a

x

+x≥2（x＞0）恒成立?a≥2x-x²恒成立，令g（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，利用二次函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性與最值，可求得g（x）_max，于是可得a的取值范圍．

解答： 解：∵f（x）=alnx+

1

2

x²（a＞0），對(duì)任意兩個(gè)不等的正實(shí)數(shù)x₁、x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞2恒成立，
∴f′（x）=

a

x

+x≥2（x＞0）恒成立，
∴a≥2x-x²恒成立，令g（x）=2x-x²=-（x-1）²+1，
則a≥g（x）_max，
∵g（x）=2x-x²為開口方向向下，對(duì)稱軸為x=1的拋物線，
∴當(dāng)x=1時(shí)，g（x）=2x-x²取得最大值g（1）=1，
∴a≥1．
即a的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義與二次函數(shù)的對(duì)稱性、單調(diào)性與最值，考查轉(zhuǎn)化思想．