Question

5．已知函數(shù)f（x）定義在R上的奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）=e^x（x+1），給出下列命題：
①當x＞0時，f（x）=e^x（1-x）；
②函數(shù)f（x）有2個零點；
③f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）
其中正確命題的個數(shù)是（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可設(shè)x＞0，從而有-x＜0，從而可求出f（x）=e^-x（x-1），從而可看出-1，1，0都是f（x）的零點，這便得出①②錯誤，而由f（x）解析式便可解出f（x）＞0的解集，從而判斷出③的正誤．

解答 解：①f（x）為R上的奇函數(shù)，設(shè)x＞0，-x＜0，則：f（-x）=e^-x（-x+1）=-f（x）；
∴f（x）=e^-x（x-1）；
∴該命題錯誤；
②∵f（-1）=0，f（1）=0；
又f（0）=0；
∴f（x）有3個零點；
∴該命題錯誤；
③（1）x＜0時，f（x）=e^x（x+1）；
∴-1＜x＜0時，f（x）＞0；
（2）x＞0時，f（x）=e^-x（x-1）；
∴x＞1時，f（x）＞0；
∴f（x）＞0的解集為（-1，0）∪（1，+∞）；
∴該命題正確；
∴正確的命題為③．
故選：B．

點評 本題考查函數(shù)的解析式的求法，函數(shù)的零點的求法函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，不等式的解法，考查基本知識的綜合應(yīng)用．