14.已知數(shù)列{an}為a0,a1,a2,a3,…,an(n∈N),bn=$\sum_{i=0}^{n}$ai=a0+a1+a2+a3+…+an,i∈N.若數(shù)列{an}為等差數(shù)列an=2n(n∈N),則$\sum_{i=1}^{n}$(bi${C}_{n}^{i}$)=(n2+3n)•2n-2

分析 利用等差數(shù)列的求和公式可得:bn=$\sum_{i=0}^{n}$ai=a0+a1+a2+a3+…+an=$\frac{(n+1)({a}_{0}+{a}_{n})}{2}$=n(n+1).因此$\sum_{i=1}^{n}$(bi${C}_{n}^{i}$)=1×2×${∁}_{n}^{1}$+$2×3×{∁}_{n}^{2}$+…+n(n+1)${∁}_{n}^{n}$,構(gòu)造等式:x(x+1)n=${∁}_{n}^{0}x$+${∁}_{n}^{1}{x}^{2}$+${∁}_{n}^{2}{x}^{3}$+…+${∁}_{n}^{n}{x}^{n+1}$,兩邊對x兩次求導(dǎo),令x=1即可得出.

解答 解:∵an=2n(n∈N),
∴bn=$\sum_{i=0}^{n}$ai=a0+a1+a2+a3+…+an=$\frac{(n+1)({a}_{0}+{a}_{n})}{2}$=$\frac{(n+1)(0+2n)}{2}$=n(n+1).
∴$\sum_{i=1}^{n}$(bi${C}_{n}^{i}$)=1×2×${∁}_{n}^{1}$+$2×3×{∁}_{n}^{2}$+…+n(n+1)${∁}_{n}^{n}$,
∵x(x+1)n=${∁}_{n}^{0}x$+${∁}_{n}^{1}{x}^{2}$+${∁}_{n}^{2}{x}^{3}$+…+${∁}_{n}^{n}{x}^{n+1}$,
兩邊對x求導(dǎo):(x+1)n+nx(x+1)n-1=1+2${∁}_{n}^{1}$x+3${∁}_{n}^{2}$x2+…+(n+1)${∁}_{n}^{n}{x}^{n}$,
兩邊對x求導(dǎo):n(x+1)n-1+n(x+1)n-1+nx(x+1)n-2=1×2×${∁}_{n}^{1}$+$2×3×{∁}_{n}^{2}$x+…+n(n+1)${∁}_{n}^{n}$xn-1,
令x=1可得:(n2+3n)•2n-2=1×2×${∁}_{n}^{1}$+$2×3×{∁}_{n}^{2}$+…+n(n+1)${∁}_{n}^{n}$,
故答案為:(n2+3n)•2n-2

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的求和公式及其性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、二項(xiàng)式定理的應(yīng)用,考查了構(gòu)造方法、推理能力與計(jì)算能力,屬于難題.

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