Question

某公司為了實(shí)現(xiàn)2015年1000萬(wàn)元利潤(rùn)的目標(biāo)，準(zhǔn)備制定一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：銷(xiāo)售利潤(rùn)達(dá)到10萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)，且獎(jiǎng)金數(shù)額y（單位：萬(wàn)元）隨銷(xiāo)售利潤(rùn)x（單位：萬(wàn)元）的增加而增加，但獎(jiǎng)金數(shù)額不超過(guò)5萬(wàn)元，同時(shí)獎(jiǎng)金數(shù)額不超過(guò)利潤(rùn)的25%，現(xiàn)有三個(gè)獎(jiǎng)勵(lì)模型：y₁=0.025x，y₂=1.003^x，y₃=log₇x+1，問(wèn)其中是否有模型能完全符合公司的要求？說(shuō)明理由．（參考數(shù)據(jù)：1.003⁶⁰⁰≈6，7⁴=2401）

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專(zhuān)題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意，當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，模型需同時(shí)滿(mǎn)足①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③y≤x•25，對(duì)y₁=0.025x，y₂=1.003^x，y₃=log₇x+1，三個(gè)函數(shù)逐一分析即可．

解答： 解：由題意，符合公司要求的模型只需滿(mǎn)足：當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)
①函數(shù)為增函數(shù)；②函數(shù)的最大值不超過(guò)5；③y≤x•25%
（1）y=0.025x，易知滿(mǎn)足①，但當(dāng)x＞200時(shí)，y＞5不滿(mǎn)足公司要求；…（2分）
（2）y=1.003^x，易知滿(mǎn)足①，但當(dāng)x＞600時(shí)，y＞6不滿(mǎn)足公司要求；…（4分）
（3）y₃=log₇x+1易知滿(mǎn)足①，
當(dāng)x∈[10，1000]時(shí)，y₃≤log₇1000+1＜log₇2401+1＜5，滿(mǎn)足②，…（7分）
對(duì)于③，設(shè)F(x)=lo

g

x 7

+1-25%x，F(xiàn)′（x）=

1

xln7

-

1

4

≤

1

10ln7

-

1

4

＜0，F(xiàn)_max（x）=F（10）＜0，滿(mǎn)足條件③．…（11分）
所以，只有y₃=log₇x+1滿(mǎn)足題意．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)F(x)=lo

g

x 7

+1-25%x，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性與最值是關(guān)鍵，也是難點(diǎn)所在，突出考查轉(zhuǎn)化思想與綜合分析的能力，屬于中檔題．