Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$，g（x）=-ax+b．
（I）討論函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）單調(diào)區(qū)間；
（II）若直線g（x）=-ax+b是函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{x}$圖象的切線，求b-a的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求得h（x）的解析式和導(dǎo)數(shù)，討論a=0，a＞0，a＜0，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)（m，lnm-$\frac{1}{m}$），求得切線的方程，對照已知直線y=g（x），可得a，b的式子，令-a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，t＞0，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，即可得到所求最小值．

解答 解：（Ⅰ）h（x）=f（x）-g（x）=lnx-$\frac{1}{x}$+ax-b（x＞0），
則h′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$+a=$\frac{a{x}^{2}+x+1}{{x}^{2}}$（x＞0），
令y=ax²+x+1                     …（2分）
（1）當(dāng)a=0時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．…（3分）
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，△=1-4a，
若△≤0，即a≥$\frac{1}{4}$時(shí)，h′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
△＞0，即0＜a＜$\frac{1}{4}$，由ax²+x+1=0，得x_1，2=$\frac{-1±\sqrt{1-4a}}{2a}$＜0，
函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
（3）當(dāng)a＜0時(shí)，△=1-4a＞1，
由ax²+x+1=0，得x₁=$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$＞0，x₂=$\frac{-1+\sqrt{1-4a}}{2a}$＜0，
所以函數(shù)f（x）在（0，$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$）上單調(diào)遞增； 在（$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$，+∞）上遞減          …（5分）
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（0，+∞）； 
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$）上單調(diào)遞增； 在（$\frac{-1-\sqrt{1-4a}}{2a}$，+∞）上遞減．…（6分）（Ⅱ）設(shè)切點(diǎn)（m，lnm-$\frac{1}{m}$），
則切線方程為y-（lnm-$\frac{1}{m}$）=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）（x-m），
即y=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）x-（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）m+lnm-$\frac{1}{m}$，
亦即y=（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$）x+lnm-$\frac{2}{m}$-1，
令$\frac{1}{m}$=t＞0，由題意得-a=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$=t+t²，b=lnm-$\frac{2}{m}$-1=-lnt-2t-1，…（8分）
令-a+b=φ（t）=-lnt+t²-t-1，
則φ′（t）=-$\frac{1}{t}$+2t-1=$\frac{（2t+1）（t-1）}{t}$，
當(dāng)t∈（0，1）時(shí)，φ′（t）＜0，φ（t）在（0，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)t∈（1，+∞）時(shí)，φ′（t）＞0，φ（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴b-a=φ（t）≥φ（1）=-1，
故b-a的最小值為-1．               …（12分）

點(diǎn)評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，考查分類討論的思想方法和構(gòu)造函數(shù)法，考查化簡整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．