Question

13．已知x=1是f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{（{x^2}+ax）{e^x}，x＞0}\\{bx，x≤0}\end{array}}$函數(shù)的極值點(diǎn)．
（Ⅰ）求的a值；
（Ⅱ）函數(shù)y=f（x）-m有2個(gè)零點(diǎn)，求m的范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是f′（1），得到關(guān)于a的方程，解出即可；
（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出f（x）的最小值，通過討論b的范圍，結(jié)合函數(shù)的圖象求出m的范圍即可．

解答 解：（Ⅰ）∵x＞0時(shí)，f′（x）=（x²+ax+2x+a）e^x，
∴f′（1）=（3+2a）e，
由題意得f′（1）=0，故a=-$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）由（Ⅰ）f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x，
問題可轉(zhuǎn)化為y=f（x）與y=m圖象有2個(gè)交點(diǎn)，
x＞0時(shí)，f（x）=（x²-$\frac{3}{2}$x）e^x，
∴f′（x）=（x²+$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$）e^x．
令f′（x）=0得x=1或x=-$\frac{3}{2}$（舍），
∴f（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）_min=f（1）=-$\frac{e}{2}$，
①當(dāng)b＜0時(shí)，f（x）的草圖如圖①：

故m＞-$\frac{e}{2}$時(shí)滿足題意；                                                 
②當(dāng)b=0時(shí)f（x）的草圖如圖②：

故-$\frac{e}{2}$＜m＜0時(shí)滿足題意；                                                 
③當(dāng)b＞0時(shí)f（x）的草圖如圖③：

故m=-$\frac{e}{2}$或m=0時(shí)滿足題意；
綜上所述：當(dāng)b＜0時(shí)，m＞-$\frac{e}{2}$；
當(dāng)b=0時(shí)，-$\frac{e}{2}$＜m＜0；
當(dāng)b＞0時(shí)，m=-$\frac{e}{2}$或m=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．