Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-$\sqrt{2}$|-|x+$\sqrt{2}$|最大值為M，
（1）求實(shí)數(shù)M的值；
（2）若?x∈R，f（x）≥t²-（2+$\sqrt{2}$）t恒成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)解析式分別由x的范圍去絕對(duì)值，化簡后可得函數(shù)f（x）的解析式，即可求出最大值M；
（2）由（1）中f（x）的解析式，求出f（x）的最小值，由條件和恒成立問題列出不等式，求出解集即可得實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f（x）=|x-$\sqrt{2}$|-|x+$\sqrt{2}$|=$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{2}，x≤-\sqrt{2}}\\{-2x，-\sqrt{2}＜x＜\sqrt{2}}\\{-2\sqrt{2}，x≥\sqrt{2}}\end{array}\right.$，（3分）
∴函數(shù)f（x）的最大值M是2$\sqrt{2}$；                       （5分）
（2）由（1）知，函數(shù)f（x）的最小值M是-2$\sqrt{2}$，（6分）
∵?x∈R，f（x）≥t²-（2+$\sqrt{2}$）t恒成立，
∴-2$\sqrt{2}$≥t²-（2+$\sqrt{2}$）t，（7分）
化簡得，t²-（2+$\sqrt{2}$）t+2$\sqrt{2}$≤0，（8分）
解得$\sqrt{2}≤t≤2$，所以不等式的解集是[$\sqrt{2}$，2]．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了含有絕對(duì)值的函數(shù)化簡，分段函數(shù)的最值，以及恒成立問題的轉(zhuǎn)化問題，考查化簡、變形能力．