Question

已知命題p：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²＞0的解集為R．
命題q：方程

x2

a2+a

+

y2

a2-1

=1表示雙曲線．
若命題“p∨q”為真命題，命題“p∧q”為假命題，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：復(fù)合命題的真假,一元二次不等式的解法,拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：簡易邏輯

分析：利用一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系可化簡P，利用雙曲線的定義可化簡命題q．由于“p∨q”真，“p∧q”假，所以p與q恰有一個真，恰有一個假．即可得出．

解答： 解：p真時，△=（a-1）²-4a²＜0，解得a＜-1或a＞

1

3

，
∴p假時，-1≤a≤

1

3

．
q真時，

(a2+a)(a2-1)＜0 a2+a≠0 a2-1≠0

解得  0＜a＜1．
∴q假時，

a≤0或a≥1 a2+a≠0 a2-1≠0

即 

a＜-1或-1＜a＜0或a＞1

．
由于“p∨q”真，“p∧q”假，所以p與q恰有一個真，恰有一個假．
P真q假時，

a＜-1或a＞ 1 3 a＜-1或-1＜a＜0或a＞1

∴a＜-1或a＞1．
P假q真時，

-1≤a≤ 1 3 0＜a＜1

，∴0＜a≤

1

3

．
綜合以上得a的范圍是：a＜-1或0＜a≤

1

3

或a＞1．

點評：本題考查了一元二次不等式的解集與判別式的關(guān)系可、雙曲線的定義、復(fù)合命題真假的判定方法，考查了推理能力和計算能力，屬于難題．