Question

設(shè)a∈R，函數(shù)f（x）=lnx-ax．
（1）若a=2，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）≤0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）分離參數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)g(x)=

lnx

x

，求出g（x）_max的即可．

解答： 解：（1）f（x）=lnx-2x，∴f′(x)=

1

x

-2=

1-2x

x

令f'（x）=0，則x=

1

2

x	(0， 1 2 )	1 2	( 1 2 ，+∞)
f'（x）	正	0	負(fù)
f（x）	遞增	極大值	遞減

所以f（x）=lnx-2x在(0，

1

2

)上單調(diào)遞增，在(

1

2

，+∞)上單調(diào)遞減．
（2）f（x）=lnx-ax≤0，∵x＞0，∴a≥

lnx

x

令g(x)=

lnx

x

，則a≥g（x）_max
g′(x)=

1-lnx

x2

=0時(shí)，x=e

x	（0，e）	e	（e，+∞）
g'（x）	正	0	負(fù)
g（x）	遞增	極大值	遞減

所以g(x)max=g(e)=

1

e

，即a≥

1

e

故實(shí)數(shù)a的取值范圍為（

1

e

，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，會(huì)熟練運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)的極值與最值問題．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)該先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)大于0得到函數(shù)的遞增區(qū)間，令導(dǎo)函數(shù)小于0得到函數(shù)的遞減區(qū)間．對(duì)于恒成立的問題，分離參數(shù)，利用函數(shù)的最值，屬于中檔題．