Question

4．在△ABC中，∠ACB=120°，D是 AB 上一點(diǎn)，滿足∠ADC=60°，CD=2，若CB$≥\sqrt{6}$，則∠ACD的最大值為105^°．

Answer 1

分析 如圖所示，過C作CE⊥AB，垂足為E．在Rt△CED中，可得CE=$\sqrt{3}$，∠ECD=30°．在Rt△CEB中，由CB$≥\sqrt{6}$，可得cos∠BCE=$\frac{CE}{CB}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即可得出．

解答 解：如圖所示，過C作CE⊥AB，垂足為E．
在Rt△CED中，∠ADC=60°，CD=2，
∴CE=2sin60°=$\sqrt{3}$，∠ECD=30°．
在Rt△CEB中，∵CB$≥\sqrt{6}$，
則cos∠BCE=$\frac{CE}{CB}$≤$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴90^°＞∠BCE≥45^°．
∴∠BCD≥15^°，
∴∠ACD≤120^°-15^°=105^°．
故答案為：105°．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了直角三角形的邊角關(guān)系、三角函數(shù)的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．