Question

18．已知函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=e^x-$\frac{1}{x-1}$，若f（-a）+f（a）≤2f（1），則實(shí)數(shù)a取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-1]∪[1，+∞）
• B． [-1，0]
• C． [0，1]
• D． [-1，1]

Answer 1

分析 利用偶函數(shù)的性質(zhì)將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化，由基本初等函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷出f（x）在（-∞，0]上單調(diào)性，由偶函數(shù)的性質(zhì)判斷出在[0，+∞）上的單調(diào)性，由單調(diào)性列出不等式，求出a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴不等式f（a）+f（-a）≤2f（1）等價(jià)為2f（a）≤2f（1），
即f（a）≤f（1），
∴等價(jià)為f（|a|）≤f（1），
∵當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=e^x-$\frac{1}{x-1}$，
∴f（x）在區(qū)間（-∞，0]上單調(diào)遞增，
∴偶函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）上單調(diào)遞減，
∴|a|≥1，即a≤-1或a≥1，
則實(shí)數(shù)a取值范圍是（-∞，-1]∪[1，+∞），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，基本初等函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)奇偶性的性質(zhì)、單調(diào)性將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵，考查了函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想．