Question

如圖，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，已知AB=2，AA₁=2

2

，M為棱A₁A上的點，若A₁C⊥平面MB₁D₁．
（Ⅰ）確定點M的位置；
（Ⅱ）求二面角D₁-MB₁-B的大小．

Answer 1

分析：方法一（Ⅰ）連結A₁D，證明△A₁MD₁∽△D₁A₁D，通過計算確定點M的位置；
（Ⅱ）引A₁E⊥B₁M于E，連結D₁E，則A₁E是D₁E在平面BA₁上的射影，說明∠A₁ED₁是二面角D₁-MB₁-B的平面角的補角，通過解三角形求二面角D₁-MB₁-B的大小．
方法二（Ⅰ）通過建立空間直角坐標系，利用向量的數(shù)量積求解點M的位置；
（Ⅱ）求出兩個平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積求二面角D₁-MB₁-B的大�。�

解答：解：（方法一）
（Ⅰ）連結A₁D，在正四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，側面ADD₁A₁為矩形，
∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴A₁C⊥D₁M，
因此A₁C在平面AD₁上的射影A₁D⊥D₁M，
∴△A₁MD₁∽△D₁A₁D，
∴A₁M=

A1 D 2 1

DD1

=

4

2 2

=

2

，因此M是A₁A的中點．…（6分）
（Ⅱ）引A₁E⊥B₁M于E，連結D₁E，則A₁E是
D₁E在平面BA₁上的射影，由三垂線定理可
知D₁E⊥B₁M，
∴∠A₁ED₁是二面角D₁-MB₁-B的平面角的補角，
由（Ⅰ）知，A₁M=

2

，則tanA1ED1=

A1D1

A1E

=

2

2× 2 22+2

=

3

，
∴∠A1ED1=

π

3

，
∴二面角D₁-MB₁-B等于

2π

3

．…（12分）
（方法二）
如圖，在正四棱住ABCD-A₁B₁C₁D₁中，以A為原點，直線AB為x軸，直線AD為y軸建立空間直角坐標系A-xyz，AB=2，AA₁=2

2

，則
C（2，2，0），D（0，2，0），A₁（0，0，2

2

），B₁（2，0，2

2

），D₁（0，2，2

2

），
設M（0，0，Z），則

MD1

=（0，2，2

2

-z），

A1C

=（2，2，-2

2

），…（3分）
（Ⅰ）∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴A₁C⊥D₁M，∴

A1C

•

MD1

=0，
∴4-2

2

(2

2

-z)=0，
∴z=

2

，∴AM=

2

，
因此M是A₁A的中點．…（6分）
（Ⅱ）∵A₁C⊥平面MB₁D₁，
∴

A1C

=(2，2，-2

2

)是平面MB₁D₁的一個法向量．
又平面A₁B的一個法向量為

AD

=(0，2，0)，…（8分）
∴cos＜

A1C

，

AD

＞

2×2

4+4+8 ×2

=

1

2

．
∵二面角D₁-MB₁-B是鈍二面角．…（11分）
∴二面角D₁-MB₁-B等于

2π

3

．…（12分）

點評：本題考查空間想象能力以及計算能力，立體幾何問題的解法有兩種思路，一是幾何法，一是向量法，注意解題時合理選擇方法，做到簡便快捷．