Question

8．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{1}{2}$x，則其離心率為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{\sqrt{10}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根據題意，由雙曲線的標準方程可得其焦點的位置，進而可得其漸近線的方程為y=±$\frac{a}$x，結合題意可得$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，即b=$\frac{1}{2}$a，由a、b、c的關系可得c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，由離心率公式計算可得答案．

解答 解：根據題意，已知雙曲線的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$（a＞b＞0），
其焦點在x軸上，
則其漸近線的方程為：y=±$\frac{a}$x，
又由題意，該雙曲線的一條漸近線方程為y=$\frac{1}{2}$x，
則有$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，即b=$\frac{1}{2}$a，
則c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，
則其離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$；
故選：A．

點評 本題考查雙曲線的集合性質，注意由雙曲線的標準方程分析焦點的位置，進而確定其漸近線的方程．