Question

已知函數(shù)f（x）=

ln(x-a)

x

．
（Ⅰ）若a=-1，證明：函數(shù)f（x）是（0，+∞）上的減函數(shù)；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y=0平行，求a的值；
（Ⅲ）若x＞0，證明：

ln(x+1)

x

＞

x

ex-1

（其中e=2.71828…是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ） 先求導(dǎo)，得到f′（x）=

x-(x+1)ln(x+1)

(x+1)x2

，再構(gòu)造函數(shù)g（x）=x-（x+1）ln（x+1），求出g（x）的最大值為0，繼而得到f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，問題得以證明；
（Ⅱ）欲求a的值，根據(jù)在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導(dǎo)數(shù)求出在x=1處的導(dǎo)函數(shù)值，再結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率，解方程即可得；
（Ⅲ）

ln(x+1)

x

＞

x

ex-1

=

ln(ex-1+1)

ex-1

，由（Ⅰ）的結(jié)論，故要證原不等式成立，只需要證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x＜e^x-1，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的最值的關(guān)系即可證明．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=

ln(x+1)

x

，
∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，0）∪（0，+∞），
∴f′（x）=

x-(x+1)ln(x+1)

(x+1)x2

，
設(shè)g（x）=x-（x+1）ln（x+1），
∴g′（x）=1-[ln（x+1）+1]=-ln（x+1），
∴g′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴g（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴g（x）≤g（0）=0，
∴f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）上為減函數(shù)．

（Ⅱ）∵f′（x）=

x-(x-a)ln(x-a)

(x-a)x2

，
∴k=f′（1）=

1-(1-a)ln(1-a)

1-a

，
∵y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y=0平行
∴

1-(1-a)ln(1-a)

1-a

=1，
即ln（1-a）=

a

1-a

，分別畫出y=ln（1-x）與y=

x

1-x

的圖象，
又圖象可知交點(diǎn)為（0，0）
∴解得a=0．

（Ⅲ）：∵

x

ex-1

=

lnex

ex-1

=

ln(ex-1+1)

ex-1

，
∴

ln(x+1)

x

＞

x

ex-1

=

ln(ex-1+1)

ex-1

，
由（Ⅰ）知，當(dāng)a=-1時(shí)，f（x）=

ln(x+1)

x

在（0，+∞）上為減函數(shù)，
故要證原不等式成立，只需要證明：當(dāng)x＞0時(shí)，x＜e^x-1，
令h（x）=e^x-1-x，
則h′（x）=e^x-1＞0，
∴h（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∴h（x）＞h（0）=0，即x＜e^x-1，
∴f（x）＞f（e^x-1）
即

ln(x+1)

x

＞

x

ex-1

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性最值的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查了不等式的證明問題，培養(yǎng)了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力，運(yùn)算能力，處理問題的能力，屬于難題