如圖，四邊形PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=1，BC=2．又AC=1，∠ACB=120°，AB⊥PC，直線AM與直線PC所成的角為60°．

（1）求證：PC⊥AC；
（2）求二面角M﹣AC﹣B的余弦值；
（3）求點B到平面MAC的距離．

（1）證明過程詳見解析；（2）二面角的余弦值為；（3）.

解析試題分析：本題考查空間兩條直線的位置關(guān)系、二面角、點到平面的距離等基礎(chǔ)知識，考查運用傳統(tǒng)幾何法，也可以運用空間向量法求解，突出考查空間想象能力和計算能力.第一問，根據(jù)線面平行的判定定理得到平面，所以垂直于面內(nèi)的任意線；第二問，法一：先找出二面角的平面角，取的中點，因為，所以，由三垂線定理得，所以得到二面角的平面角為，由已知得，在中用余弦定理求，在、、、中求邊長，最后在中即是二面角的余弦值.法二：用向量法，建立空間直角坐標系，設(shè)出點坐標，因為直線與直線所成的角為，利用夾角公式，先得到點坐標，再求出平面的法向量，所以求與的夾角的余弦，并判斷夾角為銳角，所以余弦值為正值；第三問，先找線段的中點到平面的距離，利用線面垂直的判定定理，得到即是，用等面積法求，所以點到平面的距離是點到平面的距離的兩倍.
試題解析：方法1：（1）證明：∵，，∴平面，∴．（2分）
（2）取的中點，連．∵，∴，∴平面．

作，交的延長線于，連接．
由三垂線定理得，∴為二面角的平面角．
∵直線與直線所成的角為，
∴在中，．
在中，．
在中，．
在中，．
在中，∵，∴．
故二面角的余弦值為．（8分）
（3）作于．∵平面

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，長方體中，為中點.

（1）求證：；
（2）在棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求的長；若不存在，說明理由；
（3）若二面角的大小為，求的長.

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平行四邊形中，，，，以為折線，把折起，使平面平面，連結(jié).

（Ⅰ）求證：；
（Ⅱ）求二面角的大小.

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在如圖所示的幾何體中，四邊形是菱形，是矩形，平面⊥平面，，，，是的中點．

（Ⅰ）求證：//平面；
（Ⅱ）在線段上是否存在點，使二面角的大小為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.

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如圖，在直三棱柱中，,點分別為和的中點.

（1）證明：平面；
（2）平面MNC與平面MAC夾角的余弦值.

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如圖，已知矩形中，，，將矩形沿對角線把折起，使移到點，且在平面上的射影恰好在上.

（1）求證：；
（2）求證：平面平面；
（3）求二面角的余弦值.

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如圖，邊長為2的正方形ABCD，E,F分別是AB,BC的中點，將△AED，△DCF分別沿DE,DF折起，使A,C兩點重合于

(1)求證：⊥EF;
(2)求

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如圖，在直三棱柱中，，點D是AB的中點，

求證：（1）; （2）平面

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如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，點M是A1B的中點，點N是B1C的中點，連接MN

（Ⅰ）證明：MN//平面ABC；
（Ⅱ）若AB=1，AC=AA1=，BC=2，求二面角A—A1C—B的余弦值的大小

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