如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,點(diǎn)M是A1B的中點(diǎn),點(diǎn)N是B1C的中點(diǎn),連接MN

(Ⅰ)證明:MN//平面ABC;
(Ⅱ)若AB=1,AC=AA1=,BC=2,求二面角A—A1C—B的余弦值的大小

(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ);

解析試題分析:(Ⅰ)主要利用線線平行可證線面平行;(Ⅱ)通過(guò)作平行線轉(zhuǎn)化到三角形內(nèi)解角;當(dāng)然也可建系利用空間向量來(lái)解;
試題解析:(Ⅰ)證明:連接AB1,
∵四邊形A1ABB1是矩形,點(diǎn)M是A1B的中點(diǎn),
∴點(diǎn)M是AB1的中點(diǎn);∵點(diǎn)N是B1C的中點(diǎn),
∴MN//AC,∵M(jìn)N平面ABC,AC平面ABC,
∴MN//平面ABC        6分
(Ⅱ)解 :(方法一)如圖,作,交于點(diǎn)D,

由條件可知D是中點(diǎn),連接BD,∵AB=1,AC=AA1=,BC=2,
∴AB2+AC2= BC2,∴AB⊥AC,
∵AA1⊥AB,AA1∩AC=A,∴AB⊥平面
∴AB⊥A1C, ∴A1C⊥平面ABD,∴為二面角A—A1C—B的平面角,在, , ,
在等腰中,中點(diǎn),, ∴中,,
中,,
∴二面角A——B的余弦值是    12分
(方法二) 三棱柱為直三棱柱,
,,,
, ∴,∴
如圖,建立空間直角坐標(biāo)系,

則A(0,0,0), B(0,1,0), C(,0,0), A1(0,0,),
如圖,可取為平面的法向量,
設(shè)平面的法向量為,
,,
則由
,不妨取m=1,則,
可求得,      12分
考點(diǎn):立體幾何線平行的證明、二面角的求解,考查學(xué)生的空間想象能力和空間向量的使用

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,四邊形PCBM是直角梯形,∠PCB=90°,PM∥BC,PM=1,BC=2.又AC=1,∠ACB=120°,AB⊥PC,直線AM與直線PC所成的角為60°.

(1)求證:PC⊥AC;
(2)求二面角M﹣AC﹣B的余弦值;
(3)求點(diǎn)B到平面MAC的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,在四棱錐P—ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,PA=AB=4,G為PD的中點(diǎn),E是AB的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證:AG∥平面PEC;  
(Ⅱ)求點(diǎn)G到平面PEC的距離.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,三棱錐中,,
 
(Ⅰ)求證:;
(Ⅱ)若,的中點(diǎn),求與平面所成角的正切值  

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形,PD⊥平面ABCD,E為PB上的點(diǎn),且2BE=EP.

(1)證明:AC⊥DE;
(2)若PC=BC,求二面角E-AC一P的余弦值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,幾何體中,四邊形為菱形,,,面∥面,、都垂直于面,且,的中點(diǎn),的中點(diǎn).

(1)求幾何體的體積;
(2)求證:為等腰直角三角形;
(3)求二面角的大小.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖,長(zhǎng)方體中,,點(diǎn)的中點(diǎn).

(1)求三棱錐的體積;
(2)證明:;
(3)求二面角的正切值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

已知中,,,的中點(diǎn),分別在線段上,且,把沿折起,如下圖所示,

(1)求證:平面
(2)當(dāng)二面角為直二面角時(shí),是否存在點(diǎn),使得直線與平面所成的角為,若存在求的長(zhǎng),若不存在說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:解答題

如圖已知:菱形所在平面與直角梯形所在平面互相垂直,點(diǎn)分別是線段的中點(diǎn).

(1)求證:平面平面;
(2)點(diǎn)在直線上,且//平面,求平面與平面所成角的余弦值。

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同步練習(xí)冊(cè)答案