Question

19．有甲乙兩個班級進行數(shù)學(xué)考試，按照大于等于85分為優(yōu)秀，85分以下為非優(yōu)秀統(tǒng)計成績后，得到如表的列聯(lián)表．

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計
甲班	10
乙班		30
合計			100

已知在全部100人中抽到隨機抽取1人為優(yōu)秀的概率為$\frac{3}{10}$
（1）請完成如表的列聯(lián)表；
（2）根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)，有多大的把握認為“成績與班級有關(guān)系“？
（3）按分層抽樣的方法，從優(yōu)秀學(xué)生中抽出6名學(xué)生組成一個樣本，再從樣本中抽出2名學(xué)生，記甲班被抽到的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．
參考公式和數(shù)據(jù)：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$，其中n=a+b+c+d
下面的臨界值表供參考：

p（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）數(shù)學(xué)考試優(yōu)秀人數(shù)有100×$\frac{3}{10}$=30人，即可將2×2列聯(lián)表補充完整；
（2）根據(jù)2×2列聯(lián)表，代入求臨界值的公式，求出觀測值，利用觀測值同臨界值表進行比較，由K²≈4.762＞3.841，故有95%的把握認為“成績與班級有關(guān)系”；
（3）根據(jù)分層抽樣甲班2人，乙班4人，則甲班被抽到的人數(shù)為ξ的取值0，1，2，分別求得其概率及分布列，根據(jù)分布列求得其數(shù)學(xué)期望．

解答 解：（1）數(shù)學(xué)考試優(yōu)秀人數(shù)有100×$\frac{3}{10}$=30人        …（1分）
補充完成2×2列聯(lián)表如下：…（3分）

	優(yōu)秀	非優(yōu)秀	總計
甲班	10	40	50
乙班	20	30	50
合計	30	70	100

（2）K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+c）（b+d）（a+b）（c+d）}$=$\frac{100×（10×30-40×20）^{2}}{50×50×30×70}$≈4.762＞3.841，…（5分）
∵P（K²＞3.841）=0.05，
∴1-0.05=95%，
∴有95%的把握認為“成績與班級有關(guān)系”…（6分）
（3）按分層抽樣，甲班抽取優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)為6×$\frac{10}{30}$=2人，
乙班抽取優(yōu)秀學(xué)生人數(shù)為6-2=4人，則ξ=0，1，2，…（7分）
P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$，P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{4}^{1}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$，P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}}{{C}_{6}^{2}}$=$\frac{1}{15}$，…（10分）
∴ξ的分布列為…（11分）

ξ	0	1	2
P	$\frac{2}{5}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{15}$

∴ξ的數(shù)學(xué)期望為E（ξ）=0×$\frac{2}{5}$+1×$\frac{8}{15}$+2×$\frac{1}{15}$=$\frac{2}{3}$…（12分）

點評 本題考查獨立性檢驗知識的運用，考查超幾何分布的概率計算公式、分布列及數(shù)學(xué)期望，考查計算能力，屬于中檔題．