Question

7．在數(shù)列$\left\{{a_n}\right\}（n∈{N^*}）$中，a₁=1，前n項(xiàng)和S_n滿足nS_n+1-（n+3）S_n=0．
（Ⅰ）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若${b_n}=4{（\frac{a_n}{n}）^2}$，求數(shù)列{（-1）ⁿb_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)已知條件nS_n+1-（n+3）S_n=0可以推知$\frac{{{S_{n+1}}}}{S_n}=\frac{n+3}{n}（n∈{{N}^*}）$，且S₁=a₁=1；所以需要分類討論：n=1和n≥2兩種情況下的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)${c_n}={（-1）^n}{b_n}={（-1）^n}{（n+1）^2}$，需要分類討論：n為偶數(shù)和n為奇數(shù)兩種情況．

解答 解：（Ⅰ）∵$\frac{{{S_{n+1}}}}{S_n}=\frac{n+3}{n}（n∈{{N}^*}）$，且S₁=a₁=1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，${S_n}={S_1}•\frac{S_2}{S_1}•\frac{S_3}{S_2}•…•\frac{S_n}{{{S_{n-1}}}}=1×\frac{4}{1}×\frac{5}{2}×\frac{6}{3}×…×\frac{n+2}{n-1}=\frac{n（n+1）（n+2）}{6}$，且S₁=1也適合，
當(dāng)n≥2時(shí)，${a_n}={S_n}-{S_{n-1}}=\frac{n（n+1）}{2}$，
且a₁=1也適合，∴${a_n}=\frac{n（n+1）}{2}（n∈{{N}^*}）$；
（Ⅱ）${b_n}={（n+1）^2}$．設(shè)${c_n}={（-1）^n}{b_n}={（-1）^n}{（n+1）^2}$，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，∵${c_{n-1}}+{c_n}={（-1）^{n-1}}•{n^2}+{（-1）^n}•{（n+1）^2}=2n+1$，
∴${T_n}=（{c_1}+{c_2}）+（{c_3}+{c_4}）+…+（{c_{n-1}}+{c_n}）=5+9+13+…+（2n+1）=\frac{{\frac{n}{2}[5+（2n+1）]}}{2}=\frac{n（n+3）}{2}$．
當(dāng)為奇數(shù)（n≥3）時(shí)，${T_n}={T_{n-1}}+{c_n}=\frac{（n-1）（n+2）}{2}-{（n+1）^2}=-\frac{{{n^2}+3n+4}}{2}$，
且T₁=c₁=-4也適合上式．
綜上：得${T_n}=\left\{{\begin{array}{l}{-\frac{{{n^2}+3n+4}}{2}（n為奇數(shù)）}\\{\frac{n（n+3）}{2}（n為偶數(shù)）}\end{array}}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的求解，利用累加法和分組求和法是解決本題的關(guān)鍵．