Question

11．數列{a_n}中，已知a₁=1，a₂=2，若對任意正整數n，有a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，且a_n+1a_n+2≠1，則該數列的前2016項和S₂₀₁₆=（　�。�

• A． 2016
• B． 4032
• C． 4026
• D． 2013

Answer 1

分析 分別表示出a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，兩式相減可推斷出a_n+3=a_n，進而可知數列{a_n}是以3為周期的數列，根據數列的周期性進行求解即可．

解答 解：依題意可知，a_na_n+1a_n+2=a_n+a_n+1+a_n+2，a_n+1a_n+2a_n+3=a_n+1+a_n+2+a_n+3，
兩式相減得a_n+1a_n+2（a_n+3-a_n）=a_n+3-a_n，
∵a_n+1a_n+2≠1，
∴a_n+3-a_n=0，即a_n+3=a_n，
∴數列{a_n}是以3為周期的數列，
∵a₁a₂a₃=a₁+a₂+a₃，∴a₃=3
∴S₂₀₁₆=672×（a₁+a₂+a₃）=672×（1+2+3）=672×6=4032，
故選：B．

點評 本題主要考查了數列的遞推式和數列的求和問題．本題的關鍵是找出數列的周期性．考查學生的推理能力．