Question

8．如圖所示．在△ABC中，已知AB＜BC，點(diǎn)I為其內(nèi)心，M為邊AC上的中點(diǎn)，N為外接圓的弧$\widehat{ABC}$的中點(diǎn)．證明：∠IMA=∠INB．

Answer 1

分析 連接NM并延長，交圓O與點(diǎn)P，連接BP交AC于H，由雞爪定理可得PA=PI，利用相似三角形的性質(zhì)可證∠PIM=∠PNI，利用四點(diǎn)共圓可證∠PHM=∠PNB，等角減去等角即可證明∠IMA=∠INB．

解答 證明：連接NM并延長，交圓O與點(diǎn)P，易知N，O，M，P共線，
連接BP交AC于H，易知B，I，H，P共線，
由雞爪定理，PA=PI，
而PA²=PM•PN，∴PI²=PM•PN，
∴△PIM∽△PNI，∴∠PIM=∠PNI，
又∠HBN=∠HMN=90°，∴B，H，M，N四點(diǎn)共圓，
∴∠PHM=∠PNB，
∴∠IMA=∠INB（等角減去等角）．

點(diǎn)評 本題主要考查了雞爪定理，相似三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，屬于中檔題．