Question

已知定義域在R上的函數(shù)f（x）滿足f（1）=1，f（1-x）=1-f（x），2f（x）=f（4x），且當(dāng)0≤x₁≤x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），則f（

1

33

）=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專(zhuān)題：計(jì)算題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由條件f（1）=1，且f（x）+f（1-x）=1，得到f（

1

2

）=

1

2

，再由f（4x）=2f（x），即f（

1

4

）=

1

2

，再求f（

1

8

），f（

1

16

），f（

1

32

），f（

1

64

），再由當(dāng)0≤x₁＜x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），由

1

64

＜

1

33

＜

1

32

，即可得到答案．

解答： 解：∵f（1）=1，且f（x）+f（1-x）=1，
令x=

1

2

，則f（

1

2

）+f（

1

2

）=1，
即有f（

1

2

）=

1

2

，
∵f（4x）=2f（x），
∴f（1）=2f（

1

4

），
即f（

1

4

）=

1

2

，
則有f（

1

8

）=

1

2

f（

1

2

）=

1

4

，
f（

1

16

）=

1

2

f（

1

4

）=

1

4

，
f（

1

32

）=

1

2

f（

1

8

）=

1

8

，
f（

1

64

）=

1

2

f（

1

16

）=

1

8

，
∵當(dāng)0≤x₁≤x₂≤1時(shí)，f（x₁）≤f（x₂），
∴由

1

64

＜

1

33

＜

1

32

，得到f（

1

64

）≤f（

1

33

）≤f（

1

32

），
而f（

1

32

）=

1

8

，f（

1

64

）=

1

8

，則f（

1

33

）=

1

8

．
故答案為：

1

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查解決抽象函數(shù)的常用方法：賦值法，同時(shí)考查函數(shù)的單調(diào)性及運(yùn)用，考查推理能力，屬于中檔題．