Question

17．已知：數(shù)列{a_n}，{b_n}中，a₁=0，b₁=1，且當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列；
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求最小自然數(shù)k，使得當(dāng)n≥k時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]，不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+λ-3恒成立．

Answer 1

分析 （1）由當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列；可得2b_n=a_n+a_n+1，${a}_{n+1}^{2}$=b_nb_n+1．又a₁=0，b₁=1，a_n，b_n≥0，且2b_n=$\sqrt{_{n}_{n-1}}$+$\sqrt{_{n}_{n+1}}$，即$2\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{_{n-1}}$+$\sqrt{_{n+1}}$（n≥2）利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出．
（2）把b_n，a_n代入不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+λ-3，整理可得：（2n-1）λ+n²-4n+3≥0，令f（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，解出即可得出．

解答 解：（1）∵當(dāng)n∈N^*時(shí)，a_n，b_n，a_n+1成等差數(shù)列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數(shù)列；
∴2b_n=a_n+a_n+1，${a}_{n+1}^{2}$=b_nb_n+1．又∵a₁=0，b₁=1，∴a_n，b_n≥0，且2b_n=$\sqrt{_{n}_{n-1}}$+$\sqrt{_{n}_{n+1}}$，
∴$2\sqrt{_{n}}$=$\sqrt{_{n-1}}$+$\sqrt{_{n+1}}$（n≥2），∴數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，又b₂=4，∴$\sqrt{_{n}}$=n，n=1時(shí)也適合．
∴b_n=n²，a_n=n（n-1）．
（2）把b_n，a_n代入不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+λ-3，整理可得：（2n-1）λ+n²-4n+3≥0，
令f（λ）=（2n-1）λ+n²-4n+3，利用一次函數(shù)的單調(diào)性可得：$\left\{\begin{array}{l}{f（0）≥0}\\{f（1）≥0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{{n}^{2}-4n+3≥0}\\{{n}^{2}-2n+2≥0}\end{array}\right.$，
解得n≤1，或n≥3．
∴存在自然數(shù)k=3，使得當(dāng)n≥k時(shí)，對(duì)任意實(shí)數(shù)λ∈[0，1]，不等式（2λ-3）b_n≥（2λ-4）a_n+λ-3恒成立．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、一次函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．