Question

5．已知函數(shù)$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-{cos^2}x-\frac{1}{2}$．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和對(duì)稱(chēng)軸；
（2）將函數(shù)f（x）的圖象各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，然后向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得函數(shù)g（x）的圖象．若a，b，c分別是△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，a+c=6，且g（B）=0，求b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）化函數(shù)f（x）為正弦型函數(shù)，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出f（x）的對(duì)稱(chēng)軸與最小正周期；
（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象平移法則，得出函數(shù)g（x）的解析式，利用g（B）=0求出B的值，
再利用余弦定理和基本不等式求出b的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-cos²x-$\frac{1}{2}$
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$（1+cos2x）-$\frac{1}{2}$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）-1，
令2x-$\frac{π}{6}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，
解得x=$\frac{kπ}{2}$+$\frac{π}{3}$，k∈Z，
所以函數(shù)f（x）的對(duì)稱(chēng)軸為$x=\frac{kπ}{2}+\frac{π}{3}$，k∈Z，周期為π；
（2）函數(shù)f（x）的圖象各點(diǎn)縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的2倍，
得函數(shù)y=sin（x-$\frac{π}{6}$）-1的圖象，
再向左平移$\frac{π}{3}$個(gè)單位，得函數(shù)y=sin（x+$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{6}$）-1的圖象，
所以函數(shù)g（x）=sin（x+$\frac{π}{6}$）-1；
又△ABC中，a+c=6，g（B）=0，
所以sin（B+$\frac{π}{6}$）-1=0，
所以B+$\frac{π}{6}$=2kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z，則B=$\frac{π}{3}$；
由余弦定理可知，
b²=a²+c²-2ac•cos$\frac{π}{3}$=a²+c²-ac=（a+c）²-3ac≥36-3•${（\frac{a+c}{2}）}^{2}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)a=c=3時(shí)取“=”，所以b≥3；
又b＜a+c=6，所以b的取值范圍是[3，6）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角恒等變換以及三角函數(shù)圖象平移、余弦定理和基本不等式的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．