Question

12．下列敘述：
①函數(shù)f（x）=sin（2x-$\frac{π}{3}$）的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-$\frac{π}{12}$；
②函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{3π}{2}$）是偶函數(shù)；
③函數(shù)f（x）=$\sqrt{2}$sin（2x+$\frac{π}{4}$），x∈[0，$\frac{π}{2}$]，則f（x）的值域?yàn)閇0，$\sqrt{2}$]；
④函數(shù)f（x）=$\frac{cosx+3}{cosx}$，x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$）有最小值，無(wú)最大值．
則所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④．

Answer 1

分析 ①根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性進(jìn)行求解判斷，
②根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進(jìn)行判斷，
③根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和值域之間的關(guān)系進(jìn)行判斷，
④根據(jù)函數(shù)最值以及三角函數(shù)的有界性進(jìn)行判斷．

解答 解：①當(dāng)x=-$\frac{π}{12}$時(shí)，f（-$\frac{π}{12}$）=sin[2×（-$\frac{π}{12}$）-$\frac{π}{3}$]=sin（-$\frac{π}{2}$）=-1，則函數(shù)f（x）的一條對(duì)稱(chēng)軸方程為x=-$\frac{π}{12}$正確；故①正確，
②函數(shù)f（x）=cos（2x-$\frac{3π}{2}$）=-sin2x是奇函數(shù)；故②錯(cuò)誤，
③當(dāng)x∈[0，$\frac{π}{2}$]時(shí)，2x∈[0，π]，2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{5π}{4}$]，此時(shí)$\sqrt{2}$sin$\frac{5π}{4}$≤f（x）≤$\sqrt{2}$sin$\frac{π}{2}$，
即-1≤f（x）≤$\sqrt{2}$，即f（x）的值域?yàn)閇-1，$\sqrt{2}$]；故③錯(cuò)誤，
④函數(shù)f（x）=$\frac{cosx+3}{cosx}$=1+$\frac{3}{cosx}$，
當(dāng)x∈（-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$），cosx∈（0，1]，此時(shí)當(dāng)cosx=1時(shí)，f（x）有最小值4，無(wú)最大值．故④正確，
故所有正確結(jié)論的序號(hào)是①④．
故答案為：①④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查命題的真假判斷，涉及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的公式進(jìn)行化簡(jiǎn)和轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．