Question

3．已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}+2\sqrt{ab}$的最小值為t．
（1）求實(shí)數(shù)t的值；
（2）解關(guān)于x的不等式：|2x+1|+|2x-1|＜t．

Answer 1

分析 （1）利用基本不等式求得$\frac{1}{a}+\frac{1}+2\sqrt{ab}$的最小值，再根據(jù)$\frac{1}{a}+\frac{1}+2\sqrt{ab}$的最小值為t，求得t的值．
（2）把要解的不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為與之等價(jià)的三個(gè)不等式組，求出每個(gè)不等式組的解集，再取并集，即得所求．

解答 解：（1）∵已知a＞0，b＞0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}+2\sqrt{ab}$≥2$\sqrt{\frac{1}{ab}}$+2$\sqrt{ab}$
≥2$\sqrt{\frac{2}{\sqrt{ab}}•2\sqrt{ab}}$=4，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí)，取等號(hào)，
故t=4．
（2）∵|2x+1|+|2x-1|＜t=4，∴$\left\{\begin{array}{l}{x≤-\frac{1}{2}}\\{-2x-1+1-2x＜4}\end{array}\right.$①，
或 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}＜x＜\frac{1}{2}}\\{2x+1+1-2x＜4}\end{array}\right.$②，或$\left\{\begin{array}{l}{x≥\frac{1}{2}}\\{2x+1+2x-1＜4}\end{array}\right.$③．

解①求得-1＜x≤-$\frac{1}{2}$；解②求得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{1}{2}$；解③求得$\frac{1}{2}$≤x＜1，
綜上可得，原不等式的解集為（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．