已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=
21
3
的雙曲線過點(diǎn)P（6，6）．
（1）求雙曲線方程．
（2）動(dòng)直線l經(jīng)過△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問：是否存在直線l，使G平分線段MN，證明你的結(jié)論．
（1）根據(jù)題意，雙曲線的離心率e=
21
3
，
則
c2
a2
=
21
9
，可得
b2
a2
=
12
9
；
設(shè)雙曲線方程為
x2
9
-
y2
12
=λ，λ≠0；
由已知，雙曲線過點(diǎn)P（6，6），
將其坐標(biāo)代入方程，解可得λ=1，
則a2=9，b2=12．
所以所求雙曲線方程為
x2
9
-
y2
12
=1；

（2）P、A1、A2的坐標(biāo)依次為（6，6）、（3，0）、（-3，0），
∴三角形的重心G的坐標(biāo)為（2，2）
假設(shè)存在直線l，使G（2，2）平分線段MN，
設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）．
∴l(xiāng)的方程為y=m（x-2）+2，
與雙曲線方程聯(lián)立消去y，
整理得x2-4x+28=0．
∵△=16-4×28＜0，
∴所求直線l不存在．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

A、B為雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足。（Ⅰ）求證：為定值； （Ⅱ）動(dòng)點(diǎn)P在線段AB上，滿足，求證：點(diǎn)P在定圓上.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，已知點(diǎn)P（3，0），點(diǎn)A，B分別在x軸負(fù)半軸和y軸上，且 當(dāng)點(diǎn)B在y軸上移動(dòng)時(shí)記點(diǎn)C的軌跡為E.（Ⅰ）求曲線E的方程;（Ⅱ）已知向量為方向向量的直線l交曲線E于不同的兩點(diǎn)M，N，若D（－1，0），的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

已知為橢圓E的兩個(gè)左右焦點(diǎn)，拋物線C以為頂點(diǎn)，為焦點(diǎn)，設(shè)P為橢圓與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，如果橢圓離心率e滿足，則e的值為（ ）

M

 
A.             B.          C.          D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知不過坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線L與拋物線y2=2x相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求證：直線L過定點(diǎn)；
②求點(diǎn)E的軌跡方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

若直線mx+ny-5=0與圓x2+y2=5沒有公共點(diǎn)，則過點(diǎn)P（m，n）的一條直線與橢圓
x2
7
+
y2
5
=1的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（　�。�
A．0B．1C．2D．1或2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知橢圓
x2
2
+y2=1，其右焦點(diǎn)為F，直線l經(jīng)過點(diǎn)F與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=
4
2
3
．
（1）求直線l的方程；
（2）求△OAB的面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，P是拋物線C：x2=2y上一點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，直線l過點(diǎn)P且與拋物線交于另一點(diǎn)Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l經(jīng)過點(diǎn)F，求弦長|PQ|的最小值；
（2）設(shè)直線l：y=kx+b（k≠0，b≠0）與x軸交于點(diǎn)S，與y軸交于點(diǎn)T
①求證：
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

若橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的焦距為2
5
，且過點(diǎn)（-3，2），⊙O的圓心為原點(diǎn)，直徑為橢圓的短軸，⊙M的方程為（x-8）2+（y-6）2=4，過⊙M上任一點(diǎn)P作⊙O的切線PA、PB，切點(diǎn)為A、B．
（1）求橢圓的方程；
（2）若直線PA與⊙M的另一交點(diǎn)為Q，當(dāng)弦PQ最大時(shí)，求直線PA的直線方程；
（3）求
OA
•
OB
的最大值．

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同步練習(xí)冊答案