已知不過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O的直線L與拋物線y2=2x相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OE⊥AB于E．
①求證：直線L過(guò)定點(diǎn)；
②求點(diǎn)E的軌跡方程．
①令直線ty=x-b（b≠0）與拋物線y2=2x相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)（給直線方程給分）…（1分）
由
ty=x-b
y2=2x
得：y2-2ty-2b=0…（2分）
于是，y1、y2是此方程的兩實(shí)根，由韋達(dá)定理得：y1+y2=2ty1y2=-2b…（3分）
x1x2=（ty1+b）（ty2+b）=t2y1y2+tb（y1+y2）+b2=b2…（4分）
又OA⊥OB?x1x2+y1y2=0…（5分）
∴b2-2b=0，又b≠0，
∴b=2…（6分）
故直線L：ty=x-2過(guò)定點(diǎn)C（2，0）…（8分）
②∵O（0，0），C（2，0），OE⊥CE…（9分）
∴點(diǎn)E的軌跡是以線段OC為直徑的圓除去點(diǎn)O，…（11分）
故點(diǎn)E的軌跡方程為（x-1）2+y2=1（x≠0）…（12分）
說(shuō)明：直線L的方程設(shè)為y=kx+b又沒(méi)有討論k不存在的情況扣（2分）；軌跡方程中沒(méi)有限制x≠0扣（1分）．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

（本題滿分15分）設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，直線AF的傾斜角為（1）求橢圓的離心率；(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)A且與AF垂直的直線與橢圓右準(zhǔn)線的交點(diǎn)為B，過(guò)A、B、F三點(diǎn)的圓M恰好與直線相切，求橢圓的方程及圓M的方程

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

（理）已知方程x4+y2=1，給出下列結(jié)論：①它的圖形關(guān)于x軸對(duì)稱；②它的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱；③它的圖形是一條封閉的曲線，且面積小于π；④它的圖形是一條封閉的曲線，且面積大于π.真命題的序號(hào)是           .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

(本小題滿分12分)

如圖，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），點(diǎn)P在BC邊上移動(dòng)，線段OP的垂直平分線交y軸于點(diǎn)E，點(diǎn)M滿足(Ⅰ)求點(diǎn)M的軌跡方程；
(Ⅱ)已知點(diǎn)F（0，），過(guò)點(diǎn)F的直線l與點(diǎn)M的軌跡相交于Q、R兩點(diǎn)，且求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

若在曲線f（x，y）=0上兩個(gè)不同點(diǎn)處的切線重合，則稱這條切線為曲線f（x，y）=0的“自公切線”．下列方程：
①x2-y2=1；
②y=x2-|x|；
③y=3sinx+4cosx；
④|x|+1=
4-y2

對(duì)應(yīng)的曲線中存在“自公切線”的有______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知中心在原點(diǎn)，頂點(diǎn)A1、A2在x軸上，離心率e=
21
3
的雙曲線過(guò)點(diǎn)P（6，6）．
（1）求雙曲線方程．
（2）動(dòng)直線l經(jīng)過(guò)△A1PA2的重心G，與雙曲線交于不同的兩點(diǎn)M、N，問(wèn)：是否存在直線l，使G平分線段MN，證明你的結(jié)論．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

橢圓
x2
2
+y2=1的弦被點(diǎn)（
1
2
，
1
2
）平分，則這條弦所在的直線方程是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

長(zhǎng)方形ABCD，AB=2
2
，BC=1，以AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．
（1）求以A、B為焦點(diǎn)，且過(guò)C、D兩點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
（2）過(guò)點(diǎn)p（0，2）的直線m與（1）中橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線m的方程：
（3）過(guò)點(diǎn)p（0，2）的直線l交（1）中橢圓與M，N兩點(diǎn)，是否存在直線l，使得以弦MN為直徑的圓恰好過(guò)原點(diǎn)？若存在，直線l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

如圖，從橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)上一點(diǎn)P向x軸作垂線，垂足恰為左焦點(diǎn)F1，又點(diǎn)A是橢圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，點(diǎn)B是橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)，且AB∥OP，|F1A|=
10
+
5
，
（1）求橢圓E的方程．
（2）是否存在圓心在原點(diǎn)的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個(gè)交點(diǎn)C，D，且
OC
⊥
OD
？若存在，寫出該圓的方程，并求|CD|的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

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