Question

已知點(diǎn)P是橢圓

x2

16

+

y2

7

=1上的動點(diǎn)，M為過P且垂直于x軸的直線上的點(diǎn)，

|OP|

|OM|

=λ．求點(diǎn)M的軌跡方程，并說明軌跡是什么曲線．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)M（x，y），根據(jù)條件列出關(guān)于λ的方程（16λ²-9）x²+16λ²y²=448，然后再分類討論，即可得出結(jié)論．

解答： 解：設(shè)M（x，y），其中x∈[-4，4]．
由已知

|OP|

|OM|

=λ及點(diǎn)P在橢圓C上，可得

9x2+112

16(x2+y2)

=λ²，
整理得（16λ²-9）x²+16λ²y²=112，其中x∈[-4，4]．
①λ=

3

4

時，化簡得9y²=112．
所以點(diǎn)M的軌跡方程為y=±

4 7

3

（-4≤x≤4），軌跡是兩條平行于x軸的線段．
②λ≠

3

4

時，方程變形為

x2

112 16λ2-9

+

y2

112 16λ2

=1，其中x∈[-4，4]；
當(dāng)0＜λ＜

3

4

時，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、實(shí)軸在y軸上的雙曲線滿足-4≤x≤4的部分；
當(dāng)

3

4

＜λ＜1時，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在x軸上的橢圓滿足-4≤x≤4的部分；
當(dāng)λ≥1時，點(diǎn)M的軌跡為中心在原點(diǎn)、長軸在x軸上的橢圓．

點(diǎn)評：本題主要考查圓錐曲線的定義和性質(zhì)及其方程．考查分類討論思想，是中檔題．