Question

設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx（x＞0）
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）設(shè)F（x）=ax²+f′（x）（a∈R），討論函數(shù)F（x）的單調(diào)性；
（3）當(dāng)x＞0時(shí)，證明：e^x＞f′（x）+1．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）求得函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)f（x）的最小值．
（2）分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)F（x）的單調(diào)性．
（3）證明e^x-f′（x）-1＞0，在x＞0時(shí)恒成立，即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）=xlnx的定義域?yàn)椋?，+∞），且f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得x=

1

e

，
∴0＜x＜

1

e

時(shí)，f′（x）＜0，x＞

1

e

時(shí)，f′（x）＞0
∴x=

1

e

時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是函數(shù)的最小值
∴f（x）_min=f（

1

e

）=

1

e

•ln

1

e

=-

1

e

．
（2）F（x）=ax²+lnx+1（x＞0），
F′（x）=

2ax2+1

x

（x＞0）．
①當(dāng)a≥0時(shí)，恒有F′（x）＞0，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
②當(dāng)a＜0時(shí)，令F′（x）＞0，得2ax²+1＞0，解得0＜x＜

- 1 2a

；
令F′（x）＜0，得2ax²+1＜0，解得x＞

- 1 2a

．
綜上，當(dāng)a≥0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)a＜0時(shí)，F(xiàn)（x）在（0，

- 1 2a

）上單調(diào)遞增，在（

- 1 2a

，+∞）上單調(diào)遞減．
證明：（3）令h（x）=e^x-f′（x）-1=e^x-lnx-2，x＞0，
則h′（x）=e^x-

1

x

，令h′（a）=e^a-

1

a

=0，
則e^a=

1

a

，a=e^-a，
則0＜x＜a時(shí)，h′（x）＜0，x＞a時(shí)，h′（x）＞0
∴x=a時(shí)，函數(shù)取得極小值，也是函數(shù)的最小值e^a-lna-2=

1

a

+a-2＞0，
故e^x-lnx-2＞0在x＞0時(shí)恒成立，
故當(dāng)x＞0時(shí)，證明：e^x＞f′（x）+1．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．