【題目】已知數(shù)列,記集合.
(1)對(duì)于數(shù)列,寫出集合;
(2)若,是否存在,使得?若存在,求出一組符合條件的;若不存在,說明理由.
(3)若,把集合中的元素從小到大排列,得到的新數(shù)列為,若,求的最大值.
【答案】(1)(2)不存在,使得成立.(3)詳見解析
【解析】
(1)根據(jù)集合的定義,即可求解;
(2)假設(shè)存在,使得,得到,根據(jù)與奇偶性相同,所以與奇偶性不同,進(jìn)而得到結(jié)論.
(3)若,使得,得到不成立,結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法,把數(shù)列,轉(zhuǎn)化為數(shù)列,其相應(yīng)集合中滿足有多少項(xiàng),即可得到結(jié)論.
(1)由題意,集合,
可得.
(2)假設(shè)存在,使得,
則有,
由于與奇偶性相同,所以與奇偶性不同.
又因?yàn)?/span>,,所以1024必有大于等于3的奇數(shù)因子,
這與1024無1以外的奇數(shù)因子矛盾.
故不存在,使得成立.
(3)首先證明時(shí),對(duì)任意的都有,.
若,使得:,
由于與均大于2且奇偶性不同,所有不成立.
其次證明除形式以外的數(shù),都可以寫成若干個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和.
若正整數(shù),其中,.
當(dāng)時(shí),由等差數(shù)列的性質(zhì)有:
此時(shí)結(jié)論成立.
當(dāng)時(shí),由等差數(shù)列的性質(zhì)有:
,
此時(shí)結(jié)論成立.
對(duì)于數(shù)列,此問題等價(jià)于數(shù)列,其相應(yīng)集合中滿足:有多少項(xiàng).
由前面的證明可知正整數(shù)2,4,8,16,32,64,128,256,512不是集合中的項(xiàng),
所以的最大值為1001.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知某款冰淇淋的包裝盒為圓臺(tái),盒蓋為直徑為的圓形紙片,每盒冰淇淋中包含有香草口味、巧克力口味和草莓口味冰淇淋球各一個(gè),假定每個(gè)冰淇淋球都是半徑為的球體,三個(gè)冰淇淋球兩兩相切,且都與冰淇淋盒蓋、盒底和盒子側(cè)面的曲面相切,則冰淇淋盒的體積為______.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖所示,沿河有A、B兩城鎮(zhèn),它們相距千米.以前,兩城鎮(zhèn)的污水直接排入河里,現(xiàn)為保護(hù)環(huán)境,污水需經(jīng)處理才能排放.兩城鎮(zhèn)可以單獨(dú)建污水處理廠,或者聯(lián)合建污水處理廠(在兩城鎮(zhèn)之間或其中一城鎮(zhèn)建廠,用管道將污水從各城鎮(zhèn)向污水處理廠輸送).依據(jù)經(jīng)驗(yàn)公式,建廠的費(fèi)用為(萬元),表示污水流量;鋪設(shè)管道的費(fèi)用(包括管道費(fèi))(萬元),表示輸送污水管道的長度(千米).已知城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B的污水流量分別為、,、兩城鎮(zhèn)連接污水處理廠的管道總長為千米.假定:經(jīng)管道輸送的污水流量不發(fā)生改變,污水經(jīng)處理后直接排入河中.請(qǐng)解答下列問題(結(jié)果精確到):
(1)若在城鎮(zhèn)A和城鎮(zhèn)B單獨(dú)建廠,共需多少總費(fèi)用?
(2)考慮聯(lián)合建廠可能節(jié)約總投資,設(shè)城鎮(zhèn)A到擬建廠的距離為千米,求聯(lián)合建廠的總費(fèi)用與的函數(shù)關(guān)系式,并求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】用平面截圓柱面,當(dāng)圓柱的軸與所成角為銳角時(shí),圓柱面的截面是一個(gè)橢圓,著名數(shù)學(xué)家創(chuàng)立的雙球?qū)嶒?yàn)證明了上述結(jié)論.如圖所示,將兩個(gè)大小相同的球嵌入圓柱內(nèi),使它們分別位于的上方和下方,并且與圓柱面和均相切.給出下列三個(gè)結(jié)論:
①兩個(gè)球與的切點(diǎn)是所得橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn);
②若球心距,球的半徑為,則所得橢圓的焦距為2;
③當(dāng)圓柱的軸與所成的角由小變大時(shí),所得橢圓的離心率也由小變大.
其中,所有正確結(jié)論的序號(hào)是( )
A.①B.②③C.①②D.①②③
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【題目】在我們的教材必修一中有這樣一個(gè)問題,假設(shè)你有一筆資金,現(xiàn)有三種投資方案供你選擇,這三種方案的回報(bào)如下:
方案一:每天回報(bào)元;
方案二:第一天回報(bào)元,以后每天比前一天多回報(bào)元;
方案三:第一天回報(bào)元,以后每天的回報(bào)比前一天翻一番.
記三種方案第天的回報(bào)分別為,,.
(1)根據(jù)數(shù)列的定義判斷數(shù)列,,的類型,并據(jù)此寫出三個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)小王準(zhǔn)備做一個(gè)為期十天的短期投資,他應(yīng)該選擇哪一種投資方案?并說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).
(1)若,直線與曲線相交于兩點(diǎn),求;
(2)若,求曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值.
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【題目】如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是平行四邊形,且AB=1,BC=2, ∠ABC=60°,PA⊥平面ABCD,AE⊥PC于E,
下列四個(gè)結(jié)論:①AB⊥AC;②AB⊥平面PAC;③PC⊥平面ABE;④BE⊥PC.正確的個(gè)數(shù)是( )
A.1B.2C.3D.4
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【題目】已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=6sinθ,建立以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),極軸為x軸正半軸的平面直角坐標(biāo)系.直線l的參數(shù)方程是,(t為參數(shù)).
(1)求曲線C的直角坐標(biāo)方程;
(2)若直線l與曲線C相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=,求直線的斜率k.
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