Question

【題目】已知數(shù)列，記集合.

（1）對(duì)于數(shù)列，寫出集合；

（2）若，是否存在，使得？若存在，求出一組符合條件的；若不存在，說明理由.

（3）若，把集合中的元素從小到大排列，得到的新數(shù)列為，若，求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在，使得成立.(3)詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)集合的定義，即可求解；

（2）假設(shè)存在，使得，得到，根據(jù)與奇偶性相同，所以與奇偶性不同，進(jìn)而得到結(jié)論.

（3）若，使得，得到不成立，結(jié)合數(shù)學(xué)歸納法，把數(shù)列，轉(zhuǎn)化為數(shù)列，其相應(yīng)集合中滿足有多少項(xiàng)，即可得到結(jié)論.

（1）由題意，集合，

可得.

（2）假設(shè)存在，使得，

則有，

由于與奇偶性相同，所以與奇偶性不同.

又因?yàn)?/span>，，所以1024必有大于等于3的奇數(shù)因子，

這與1024無1以外的奇數(shù)因子矛盾.

故不存在，使得成立.

（3）首先證明時(shí)，對(duì)任意的都有，.

若，使得：，

由于與均大于2且奇偶性不同，所有不成立.

其次證明除形式以外的數(shù)，都可以寫成若干個(gè)連續(xù)正整數(shù)之和.

若正整數(shù)，其中，.

當(dāng)時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)有：

此時(shí)結(jié)論成立.

當(dāng)時(shí)，由等差數(shù)列的性質(zhì)有：

，

此時(shí)結(jié)論成立.

對(duì)于數(shù)列，此問題等價(jià)于數(shù)列，其相應(yīng)集合中滿足：有多少項(xiàng).

由前面的證明可知正整數(shù)2，4，8，16，32，64，128，256，512不是集合中的項(xiàng)，

所以的最大值為1001.