Question

設(shè)f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R），求函數(shù)f（x）的最小值g（t）的解析式，并求g（t）的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，即拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=2，最小值為-8，過點(diǎn)（0，-4），通過二次函數(shù)的對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系得出分段函數(shù)，再求各段的值域，最后求并集即可得到．

解答： 解：f（x）=x²-4x-4=（x-2）²-8，
即拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=2，最小值為-8，過點(diǎn)（0，-4），
結(jié)合二次函數(shù)的圖象可知：
當(dāng)t+1＜2，即t＜1時(shí)，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）
在x=t+1處取最小值f（t+1）=t²-2t-7，
當(dāng)

t+1≥2 t≤2

，即1≤t≤2時(shí)，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）
在x=2處取最小值-8，
當(dāng)t＞2時(shí)，f（x）=x²-4x-4，x∈[t，t+1]（t∈R）
在x=t處取最小值f（t）=t²-4t-4，
即最小值為g（t），由以上分析可得，g（t）=

t2-2t-7，t＜1 -8，1≤t≤2 t2-4t-4，t＞2

；
當(dāng)t＜1時(shí)，g（t）為減，即有g(shù)（t）＞-8，
當(dāng)1≤t≤2時(shí)，g（t）=-8，
當(dāng)t＞2時(shí)，g（t）為增，即有g(shù)（t）＞-8．
則g（t）有最小值-8，無最大值．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二次函數(shù)的區(qū)間最值問題，分類討論是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．