【題目】已知函數(shù).

1)若,分析的單調(diào)性.

2)若對,都有恒成立,求的取值范圍;

3)證明:對任意正整數(shù)均成立,其中為自然對數(shù)的底數(shù).

【答案】1)單調(diào)增區(qū)間為,無減區(qū)間;(2;(3)證明見解析

【解析】

(1)直接對函數(shù)求導,利用導數(shù)研究其單調(diào)性即可;

(2)求導后,再根據(jù)的取值進行分情況討論即可;

(3)題目可變形為證明不等式恒成立,又由(1)可得恒成立,則令,即有,據(jù)此即可推出結(jié)論.

(1),,,,

上恒成立,

所以的單調(diào)增區(qū)間為,無減區(qū)間.

(2).

,,

:①當,,上單調(diào)遞減,

,,不符合題意;

②當,,上單調(diào)遞增,

,∴符合題意;

③當,,,上單調(diào)遞減,

,∴此時,不符合題意;

綜上所述,的取值范圍為.

(3)證明:要證明,

等價于證明,

(1)可得恒成立,

,,,

,

成立,

成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

【題目】設函數(shù),其中為自然對數(shù)的底數(shù).

(1)當時,判斷函數(shù)的單調(diào)性;

(2)若直線是函數(shù)的切線,求實數(shù)的值;

(3)當時,證明:.

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【題目】如圖,三棱錐中,點在以為直徑的圓上,平面平面,點在線段上,且,,點的重心,點的中點.

(1)求證:平面

(2)求點到平面的距離.

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【題目】已知多面體中,、均垂直于平面,,,,的中點.

1)求證:平面;

2)求直線與平面所成角的正弦值.

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【題目】已知函數(shù)

1)當時,求函數(shù)處的切線方程;

2)若對任意的,都有恒成立,求a的取值范圍;

3)函數(shù)的圖像上是否存在兩點,,使得直線AB的斜率k滿足:?若存在,求出之間的關系;若不存在,請說明理由.

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【題目】在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程是為參數(shù)),曲線的直角坐標方程為,將曲線上的點向下平移1個單位,然后橫坐標伸長為原來的2倍,縱坐標不變,得到曲線

1)求曲線和曲線的直角坐標方程;

2)若曲線和曲線相交于兩點,求三角形的面積.

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【題目】已知橢圓經(jīng)過兩點.

(Ⅰ)求橢圓的標準方程;

(Ⅱ)過橢圓的右焦點的直線交橢圓,兩點,且直線與以線段為直徑的圓交于另一點(異于點),若,求直線的斜率.

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【題目】百年雙中的校訓是、、”.2019518日的高三趣味運動會中有這樣的一個小游戲.袋子中有大小、形狀完全相同的四個小球,分別寫有、、、四個字,有放回地從中任意摸出一個小球,直到、兩個字都摸到就停止摸球.小明同學用隨機模擬的方法恰好在第三次停止摸球的概率.利用電腦隨機產(chǎn)生14之間(含14)取整數(shù)值的隨機數(shù),分別用1,2,34代表、、這四個字,以每三個隨機數(shù)為一組,表示摸球三次的結(jié)果,經(jīng)隨機模擬產(chǎn)生了以下20組隨機數(shù):

141 432 341 342 234 142 243 331 112 322

342 241 244 431 233 214 344 142 134 412

由此可以估計,恰好第三次就停止摸球的概率為(

A.B.C.D.

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【題目】某農(nóng)場計劃設計建造一條2000米長的水渠,其橫斷面如圖所示.其中,底部是半徑為1米的圓弧,上部是有一定傾角的線段,渠深米,且圓弧的圓心為O上,,,.據(jù)測算,水渠底部曲面每平方米的造價為百元,上部矩形壁面每平方米的造價為1百元,其他費用忽略不計.,.

1)試用表示水渠建造的總費用(單位:百元);

2)試確定的值,使得建造總費用最低.

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