【題目】在四棱錐中,底面是邊長為4的菱形,,平面.

1)證明:;

2)若的中點,,求二面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

1)根據(jù)底面為菱形,以及平面,可證得,從而證明;

2)方法一:利用線面垂直,作出二面角的平面角.在直角三角形中,逐步求出邊長,最終求出線面角.

方法二:根據(jù)建立的空間直角坐標(biāo)系,寫出點的坐標(biāo)后,代入公式計算即可.

1)因為底面是菱形,所以.

平面,平面,所以.

,所以.

,所以.

2)由(1

中,,∴,,

方法一:

,連,則,

所以是二面角的平面角.

中,,

所以,即.

所以.

,

,

所以二面角的余弦值為.

方法二:

如圖,以,所在直線為,軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

,,,

,,.

設(shè)面的法向量為,

,即,

,得方程的一組解為,,

.

又面的一個法向量為,

所以

所以二面角的余弦值為.

練習(xí)冊系列答案
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】定義兩個函數(shù)的關(guān)系:函數(shù)的定義域分別為,若對任意的,總存在,使得,我們就稱函數(shù)子函數(shù).已知函數(shù),,

1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;

2)若的一個子函數(shù),求的最小值.

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【題目】水資源與永恒發(fā)展2015年聯(lián)合國世界水資源日主題,近年來,某企業(yè)每年需要向自來水廠所繳納水費約4萬元,為了緩解供水壓力,決定安裝一個可使用4年的自動污水凈化設(shè)備,安裝這種凈水設(shè)備的成本費(單位:萬元)與管線、主體裝置的占地面積(單位:平方米)成正比,比例系數(shù)約為0.2.為了保證正常用水,安裝后采用凈水裝置凈水和自來水廠供水互補的用水模式.假設(shè)在此模式下,安裝后該企業(yè)每年向自來水廠繳納的水費C(單位:萬元)與安裝的這種凈水設(shè)備的占地面積x(單位:平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)= (x≥0,k為常數(shù)).記y為該企業(yè)安裝這種凈水設(shè)備的費用與該企業(yè)4年共將消耗的水費之和.

(1)試解釋C(0)的實際意義,并建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并化簡;

(2)當(dāng)x為多少平方米時,y取得最小值,最小值是多少萬元?

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【題目】已知橢圓的離心率為,直線與以原點為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點,過點的直線交橢圓兩點,直線,分別交直線兩點.

1)求橢圓的方程;

2)以線段為直徑的圓是否過定點?若是,寫出所有定點的坐標(biāo);若不是,請說明理由.

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【題目】已知直線,,圓.

1)當(dāng)為何值時,直線平行;

2)當(dāng)直線與圓相交于兩點,且時,求直線的方程.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知函數(shù).

求函數(shù)處的切線方程;

,處導(dǎo)數(shù)相等,證明:.

若對于任意,直線與函數(shù)圖象都有唯一公共點,求實數(shù)的取值范圍.

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【題目】設(shè)函數(shù),是函數(shù)的導(dǎo)數(shù).

1)若,證明在區(qū)間上沒有零點;

2)在恒成立,求的取值范圍.

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【題目】如圖,為多面體,平面與平面垂直,點在線段上, 都是正三角形.

(1)證明:直線∥面

(2)在線段上是否存在一點,使得二面角的余弦值是,若不存在請說明理由,若存在請求出點所在的位置。

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【題目】據(jù)歷年大學(xué)生就業(yè)統(tǒng)計資料顯示:某大學(xué)理工學(xué)院學(xué)生的就業(yè)去向涉及公務(wù)員、教師、金融、商貿(mào)、公司和自主創(chuàng)業(yè)等六大行業(yè).2020屆該學(xué)院有數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、計算機(jī)科學(xué)與技術(shù)和金融工程等三個本科專業(yè),畢業(yè)生人數(shù)分別是70人,140人和210.現(xiàn)采用分層抽樣的方法,從該學(xué)院畢業(yè)生中抽取18人調(diào)查學(xué)生的就業(yè)意向.

(1)應(yīng)從該學(xué)院三個專業(yè)的畢業(yè)生中分別抽取多少人?

(2)國家鼓勵大學(xué)生自主創(chuàng)業(yè),在抽取的18人中,含有“自主創(chuàng)業(yè)”就業(yè)意向的有6人,且就業(yè)意向至少有三個行業(yè)的學(xué)生有7.為方便統(tǒng)計,將至少有三個行業(yè)就業(yè)意向的這7名學(xué)生分別記為,,,,統(tǒng)計如下表:

學(xué)生

就業(yè)意向

公務(wù)員

×

×

×

×

教師

×

×

金融

×

×

×

×

商貿(mào)

×

公司

×

×

自主創(chuàng)業(yè)

×

×

×

其中表示有該行業(yè)就業(yè)意向,“×”表示無該行業(yè)就業(yè)意向.

①試估計該學(xué)院2020屆畢業(yè)生中有自主創(chuàng)業(yè)意向的學(xué)生人數(shù);

②現(xiàn)從,,,,7人中隨機(jī)抽取2人接受采訪,設(shè)為事件“抽取的2人中至少有一人有自主創(chuàng)業(yè)意向”,求事件發(fā)生的概率.

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