Question

【題目】定義兩個函數(shù)的關系：函數(shù)的定義域分別為，若對任意的，總存在，使得，我們就稱函數(shù)為的“子函數(shù)”．已知函數(shù)，，．

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若為的一個“子函數(shù)”，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為，（2）．

【解析】

（1）求導，令，可得的單調遞增區(qū)間；令，可得的單調遞減區(qū)間；

（2）根據的單調性求出的取值范圍，進而得到，即有實數(shù)解，從而得到，令，可得，令，則，，利用換元法和函數(shù)的單調性即可得出結果.

（1），函數(shù)的定義域為，

，

令，即，解得，

所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為；

令，即，解得，

所以函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，

綜上，函數(shù)的單調遞減區(qū)間為，單調遞增區(qū)間為.

（2）由（1）知，當時，函數(shù)取得極小值，即最小值，

所以，

當時，，

且為連續(xù)函數(shù)，只需，

即有實數(shù)解，

即，因為，

則，

令，

即在區(qū)間上有實數(shù)解，

將看成直線上的點，

令，則，，

令，則，

所以的最小值為.