Question

設(shè)z=1+i+i²+i³+…+i²⁰¹⁰，則

.

z

=

-i

．

Answer 1

分析：可利用{i^n-1}為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的求和公式結(jié)合復(fù)數(shù)i的冪的性質(zhì)解決．

解答：解：∵

in

in-1

=i，
∴{i^n-1}為首項(xiàng)為1，公比為i的等比數(shù)列，又i⁴ⁿ=1，i³=-i
∴z=1+i+i²+i³+…+i²⁰¹⁰=

1-i2011

1-i

=

1-i3

1-i

=

1+i

1-i

=

(1+i)2

(1-i)(1+i)

=i，
∴

.

z

=-i．

點(diǎn)評(píng)：本題考查虛數(shù)單位i及其性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握虛數(shù)單位i的冪的性質(zhì)與復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于中檔題．