Question

9．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為2，點Q（$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$，0）在直線l：x=3上．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）若O為坐標原點，P為直線l上一動點，過點P作直線與橢圓相切點于點A，求△POA面積S的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：c=1，由Q（$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$，0）在直線l：x=3上．即可求得a和b的值，求得橢圓方程；
（2）將直線方程代入橢圓方程，△=0，即可求得A點坐標，根據(jù)三角形的面積公式，利用導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，即可求得△POA面積S的最小值．

解答 解：（1）橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的焦距為2，則2c=2，c=1，又點Q（$\frac{{a}^{2}}{\sqrt{{a}^{2}-^{2}}}$，0）在直線l：x=3上，
∴a²=3，∴b²=a²-c²=2．
∴橢圓C的標準方程是$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（2）由題意直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為y=kx+m，設(shè)P（3，y₀），A（x₁，y₁）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{2{x}^{2}+3{y}^{2}=6}\end{array}\right.$，整理得（2+3k²）x²+6kmx+3m²-6=0，由△=24（2+3k²-m²）=0，則2+3k²=m²，
x₁=-$\frac{3km}{2+3{k}^{2}}$，則y₁=$\frac{2m}{2+3{k}^{2}}$，y₀=kx+m．
由2+3k²=m²，則m=±$\sqrt{2+3{k}^{2}}$．
當m=$\sqrt{2+3{k}^{2}}$．時，△POA面積S_△OPA=$\frac{3}{2}$丨k+$\sqrt{2+3{k}^{2}}$丨，又$\sqrt{2+3{k^2}}＞\sqrt{3{k^2}}＞|k|$，k+$\sqrt{2+3{k}^{2}}$＞0，
∴S_△OPA=$\frac{3}{2}$（k+$\sqrt{2+3{k}^{2}}$）．
令f（k）=$\frac{3}{2}$（k+$\sqrt{2+3{k}^{2}}$），k∈R，則f′（k）=$\frac{3}{2}$（1+$\frac{3k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}$）=$\frac{3}{2}$（$\frac{\sqrt{2+3{k}^{2}}+3k}{\sqrt{2+3{k}^{2}}}$），
由f′（k）=0，得k=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，f（k）在（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）上單調(diào)遞減，在（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）單調(diào)遞增，
∴f（k）_min=f（-$\frac{\sqrt{3}}{3}$）=$\sqrt{3}$．即當l的斜率為-$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，△OPA面積S的最小值為$\sqrt{3}$．
同理當m=-$\sqrt{2+3{k}^{2}}$．時，S_△OPA=$\frac{3}{2}$（-k+$\sqrt{2+3{k}^{2}}$）．當l的斜率為$\frac{\sqrt{3}}{3}$時，△OPA面積S的最小值為$\sqrt{3}$．
綜上，△OPA面積S的最小值為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查導數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，考查計算能力，屬于中檔題．