Question

16．已知直線l：y=x+2與圓x²+y²=6相交的弦長為橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的長軸長，且橢圓的離心率為$\frac{1}{2}$，若拋物線C：y²=2px的焦點(diǎn)與橢圓的焦點(diǎn)重合．
（1）求該橢圓的方程和拋物線的方程
（2）．若過拋物線C的焦點(diǎn)且與直線l平行的直線交拋物線于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l上的動點(diǎn)，試求$\overrightarrow{PM}$$•\overrightarrow{PN}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）圓心到直線的距離為d=$\sqrt{2}$，弦長為2$\sqrt{{r}^{2}-415nqj5^{2}}$，可知2a=4，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b²=a²-c²，聯(lián)立解出即可得出
（2）過焦點(diǎn)F的直線為y=x-1，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，x₀+2）．直線方程與橢圓方程聯(lián)立化為：x²-6x+1=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系及其數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)可得：$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=$2{x}_{0}^{2}$-6x₀-7，再利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：（1）圓心到直線的距離為d=$\frac{|0+2|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$，r=$\sqrt{6}$．
弦長為2$\sqrt{{r}^{2}-1xqjr9m^{2}}$=2$\sqrt{6-2}$=4，可知2a=4，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，b²=a²-c²，
聯(lián)立解得a=2，c=1，b²=3．
所求的橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1，焦點(diǎn)為F（1，0），
∴$\frac{p}{2}$=1，解得p=2．
∴拋物線的方程為：y²=4x．
（2）過焦點(diǎn)F的直線為y=x-1，設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），P（x₀，x₀+2）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=4x}\\{y=x-1}\end{array}\right.$，化為：x²-6x+1=0，
∴x₁+x₂=6，x₁•x₂=1，
∴$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（x₁-x₀，y₁-x₀-2）•（x₂-x₀，y₂-x₀-2）=（x₁-x₀）（x₂-x₀）+（y₁-x₀-2）（y₂-x₀-2）
=x₁x₂-（x₁+x₂）x₀+${x}_{0}^{2}$+y₁y₂-（x₀+2）（y₁+y₂）+$（{x}_{0}+2）^{2}$
=1-6x₀+${x}_{0}^{2}$-4-4（x₀+2）+$（{x}_{0}+2）^{2}$
=$2{x}_{0}^{2}$-6x₀-7
=2$（{x}_{0}-\frac{3}{2}）^{2}$-$\frac{23}{2}$，
∴x₀=$\frac{3}{2}$時(shí)，最小值為-$\frac{23}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓與拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、數(shù)量積運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．