Question

5．P為圓錐曲線上一點，F(xiàn)₁、F₂分別為左、右焦點，|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，則該圓錐曲線的離心率e=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，不妨設(shè)|PF₁|=4m，|F₁F₂|=3m，|PF₂|=2m，再進行分類討論，確定曲線的類型，從而求出曲線r的離心率．

解答 解：根據(jù)|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，不妨設(shè)|PF₁|=4m，|F₁F₂|=3m，|PF₂|=2m，
∴|PF₁|+|PF₂|=6m＞|F₁F₂|=3m，此時曲線為橢圓，且曲線r的離心率等于$\frac{3m}{6m}=\frac{1}{2}$；
|PF₁|-|PF₂|=2m＜|F₁F₂|=3m，此時曲線為雙曲線，且曲線r的離心率等于$\frac{3m}{2m}=\frac{3}{2}$，
∴該圓錐曲線的離心率e=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

點評 本題主要考查了圓錐曲線的共同特征．關(guān)鍵是利用圓錐曲線的定義來解決，是中檔題．