Question

5．P為圓錐曲線(xiàn)上一點(diǎn)，F(xiàn)₁、F₂分別為左、右焦點(diǎn)，|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，則該圓錐曲線(xiàn)的離心率e=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

Answer 1

分析 根據(jù)|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，不妨設(shè)|PF₁|=4m，|F₁F₂|=3m，|PF₂|=2m，再進(jìn)行分類(lèi)討論，確定曲線(xiàn)的類(lèi)型，從而求出曲線(xiàn)r的離心率．

解答 解：根據(jù)|PF₁|：|F₁F₂|：|PF₂|=4：3：2，不妨設(shè)|PF₁|=4m，|F₁F₂|=3m，|PF₂|=2m，
∴|PF₁|+|PF₂|=6m＞|F₁F₂|=3m，此時(shí)曲線(xiàn)為橢圓，且曲線(xiàn)r的離心率等于$\frac{3m}{6m}=\frac{1}{2}$；
|PF₁|-|PF₂|=2m＜|F₁F₂|=3m，此時(shí)曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)，且曲線(xiàn)r的離心率等于$\frac{3m}{2m}=\frac{3}{2}$，
∴該圓錐曲線(xiàn)的離心率e=$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．
故答案為：$\frac{1}{2}$或$\frac{3}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了圓錐曲線(xiàn)的共同特征．關(guān)鍵是利用圓錐曲線(xiàn)的定義來(lái)解決，是中檔題．