Question

已知函數(shù)f（x）=axlnx（a≠0）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和最值；
（Ⅱ）若m＞0，n＞0，a＞0，證明：f（m）+f（n）+a（m+n）ln2≥f（m+n）

Answer 1

分析：（1）求出f'（x），然后讓其大于0得到遞增區(qū)間，小于0得到遞減區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的增減性得到函數(shù)的極值即可；（2）要證明此結(jié)論成立，只需證f（m）+f（n）+a（m+n）ln2-f（m+n）≥0，設(shè)把不等式左邊化簡得到an[klnk+（k+1）ln

2

k+1

]，設(shè)g（k）=klnk+（k+1）ln

2

k+1

，得到其導函數(shù)大于0，g（k）≥g（1）=0，又∵a＞0，n＞0，∴左邊-右邊≥0，得證．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=alnx+a（x＞0），令f'（x）≥0，
當a＞0時，即lnx≥-1=lne^-1．∴x≥e-1=

1

e

．∴x∈[

1

e

，+∞)．
同理，令f'（x）≤0可得x∈(0，

1

e

]．
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[

1

e

，+∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，

1

e

]．
由此可知y=f(x)min=f(

1

e

)=-

a

e

．無最大值．
當a＜0時，令f'（x）≥0即lnx≤-1=lne^-1．∴x≤e-1=

1

e

．∴x∈(0，

1

e

]．
同理，令f'（x）≤0可得x∈[

1

e

，+∞)．
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為(0，

1

e

]，單調(diào)遞減區(qū)間為[

1

e

，+∞)．
由此可知y=f(x)max=f(

1

e

)=-

a

e

．此時無最小值．
（Ⅱ）證：不妨設(shè)m≥n＞0，則m=kn（k≥1）
左邊-右邊=a[mlnm+nlnn+（m+n）ln2-（m+n）ln（m+n）]=a[knlnkn+nlnn+(k+1)nln

2

(k+1)n

]=a[knlnk+(k+1)nln

2

(k+1)

]=an[klnk+(k+1)ln

2

(k+1)

]
令g(k)=klnk+(k+1)ln

2

(k+1)

，則g′(k)=lnk+1+ln

2

(k+1)

+(k+1)•

(k+1)

2

•(-

2

(k+1)2

)=lnk+ln

2

(k+1)

=ln

2k

(k+1)

＞0∴g（k）≥g（1）=0，又∵a＞0，n＞0，∴左邊-右邊≥0，得證．

點評：考查學生利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的能力，利用導數(shù)求比區(qū)間上函數(shù)最值的能力，掌握證明不等式方法的能力．