Question

【題目】已知，函數(shù).

（1）當(dāng)時，解不等式；

（2）若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素，求的取值范圍；

（3）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1）；(2) ；（3）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時,，然后根據(jù)對數(shù)底數(shù)大于的圖象性質(zhì)可得，解之即可得到答案；（2）根據(jù)題意可得，變形后為，然后將的值代入求解的值后進(jìn)一步結(jié)合的取值范圍分析的取值范圍；（3）首先可以假設(shè)當(dāng)時，則，故有，判斷出函數(shù)的單調(diào)性，可設(shè)函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，令其兩者之差不小于列出不等式,解不等式即可.

試題解析：（1）由，得，

解得．

（2），，

當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，滿足題意．

當(dāng)時，，經(jīng)檢驗，滿足題意．

當(dāng)且時，，，．

是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)，即；

是原方程的解當(dāng)且僅當(dāng)，即．

于是滿足題意的．

綜上，的取值范圍為．

（3）當(dāng)時，，，

所以在上單調(diào)遞減．

函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，．

即，對任意

成立．

因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，

有最小值，由，得．

故的取值范圍為．