Question

10．已知三角形ABC中，三邊長分別是a，b，c，面積S=a²-（b-c）²，b+c=8，則S的最大值是$\frac{64}{17}$．

Answer 1

分析 利用三角形面積公式變形出S，利用余弦定理列出關(guān)系式，代入已知等式計算即可求出S的最大值．

解答 解：∵a²=b²+c²-2bccosA，即a²-b²-c²=-2bccosA，S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA，
∴分別代入已知等式得：$\frac{1}{2}$bcsinA=2bc-2bccosA，即sinA=4-4cosA，
代入sin²A+cos²A=1得：cosA=$\frac{15}{17}$，
∴sinA=$\frac{8}{17}$，
∵b+c=8，
∴c=8-b，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{4}{17}$bc=$\frac{4}{17}$b（8-b）≤$\frac{4}{17}$•（$\frac{b+8-b}{2}$）²=$\frac{64}{17}$，當(dāng)且僅當(dāng)b=8-b，即b=4時取等號，
則△ABC面積S的最大值為$\frac{64}{17}$．
故答案為：$\frac{64}{17}$．

點評 此題考查了余弦定理，三角形的面積公式，以及同角三角函數(shù)間基本關(guān)系的運用，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵，屬于中檔題．