Question

6．給出定義：如果函數(shù)f（x）在區(qū)間[a，b]上可導，其導函數(shù)為f'（x），且?x₁，x₂∈（a，b），當x₁≠x₂時總滿足：f'（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，f'（x₂）=$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$，則稱實數(shù)x₁，x₂為[a，b]上的“希望數(shù)”，函數(shù)f（x）為[a，b]上的“希望函數(shù)”．如果函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+k是[0，k]上的“希望函數(shù)”，那么實數(shù)k的取值范圍是（　�。�

• A． （$\frac{3}{2}$，3）
• B． （2，3）
• C． （$\frac{3}{2}$，2$\sqrt{3}$）
• D． （2，2$\sqrt{3}$）

Answer 1

分析 由題意可得f'（x₁）=f'（x₂）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，由于函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+k是[0，k]上的“希望函數(shù)，得到$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）＞\frac{1}{3}{k}^{2}-k}\\{f′（k）＞\frac{1}{3}{k}^{2}-k}\end{array}\right.$，解得即可．

解答 解：∵x₁≠x₂時總滿足：f'（x₁）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，f'（x₂）=$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$，
∴f'（x₁）=f'（x₂）=$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$，
函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+k是[0，k]上的“希望函數(shù)，
∵f（k）-f（0）=$\frac{1}{3}$k³-k²，
∴f'（x₁）=f'（x₂）=$\frac{f（k）-f（0）}{k-0}$=$\frac{1}{3}$k²-k
∵f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²+k，
∴f′（x）=x²-2x，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）＞\frac{1}{3}{k}^{2}-k}\\{f′（k）＞\frac{1}{3}{k}^{2}-k}\end{array}\right.$，
∴$\frac{3}{2}$＜k＜3，
故選：A

點評 本題考查了新定義，以及函數(shù)的導數(shù)的應用，關鍵是掌握新定義，考查了學生的應用問題解決問題的能力，屬于中檔題．