Question

12．設(shè)關(guān)于x、y的不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+y-1≥0}\\{x-1≤0}\\{ax-y+1≥0}\end{array}\right.$表示的平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)P（x₀，y₀），滿足2x₀+y₀=4，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-2）∪[1，+∞）
• B． （-∞，-2）
• C． （-2，1]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，要使平面區(qū)域內(nèi)存在點(diǎn)點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足x₀-2y₀=2，則平面區(qū)域內(nèi)必存在一個(gè)點(diǎn)在直線x-2y=2的下方，由圖象可得m的取值范圍．

解答 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面如圖：交點(diǎn)C的坐標(biāo)為（m，-m），
直線ax-y+1=0過定點(diǎn)B（0，1），
則y=ax+1，由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=ax+1}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=a+1}\end{array}\right.$，即交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，a+1），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{2x+y=4}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=2}\end{array}\right.$，即F（1，2）
若a=0，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線為BC，此時(shí)C（1，a+1），
不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鰾CE，由圖象知，不存在點(diǎn)P（x₀，y₀），滿足2x₀+y₀=4，
若a＞0，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線為BA，此時(shí)A（1，a+1），
不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鰽BE，由圖象知，若存在點(diǎn)P（x₀，y₀），滿足2x₀+y₀=4，
則點(diǎn)F（1，2）必在直線y=ax+1的下方或在直線上，
即滿足不等式ax-y+1≥0，
即a-2+1≥0，即a≥1，
若a＜0，此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線為BD，此時(shí)不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)椤鰾CD，
由圖象知，若存在點(diǎn)P（x₀，y₀），滿足2x₀+y₀=4，
則直線BD的斜率k=a小于直線2x+y=4的斜率-2，
即a＜-2，
綜上a＜-2或a≥1，
故選：A

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論是解決本題的關(guān)鍵，綜合性較強(qiáng)．有一定的難度．