Question

3．已知函數(shù)f（x）=log₂（m+$\frac{m-1}{x-1}$）（m∈R，且m＞0）．
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）若函數(shù)f（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對數(shù)函數(shù)要有意義，必須真數(shù)大于0，即m+$\frac{m-1}{x-1}$＞0，這是一個含有參數(shù)的不等式，故對m分情況進行討論；
（2）根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性的判斷法則，因為y=log₂u是增函數(shù)，要使得若函數(shù)f（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)u=m+$\frac{m-1}{x-1}$在（4，+∞）上單調(diào)遞增且恒正，據(jù)些找到m滿足的不等式，解不等式即得m的范圍．

解答 解：（1）由m+$\frac{m-1}{x-1}$＞0，（x-1）（mx-1）＞0，
∵m＞0，
∴（x-1）（x-$\frac{1}{m}$）＞0，
若$\frac{1}{m}$＞1，即0＜m＜1時，x∈（-∞，1）∪（$\frac{1}{m}$，+∞）；
若$\frac{1}{m}$=1，即m=1時，x∈（-∞，1）∪（1，+∞）；
若$\frac{1}{m}$＜1，即m＞1時，x∈（-∞，$\frac{1}{m}$）∪（1，+∞）．
（2）若函數(shù)f（x）在（4，+∞）上單調(diào)遞增，則函數(shù)g（x）=m+$\frac{m-1}{x-1}$在（4，+∞）上單調(diào)遞增且恒正．
所以$\left\{\begin{array}{l}\frac{4m-1}{3}≥0\\ 1-m＞0\end{array}\right.$，
解得：$\frac{1}{4}≤m＜1$．

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的定義域及單調(diào)性，不等關系，是函數(shù)與不等式的簡單綜合應用，難度中檔．