Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}$log_a（ax）•log_a（a²x）（a＞0），且a≠1）
（I）若a=2時(shí)，求f（x）的單調(diào)區(qū)間
（2）設(shè)x∈[2，8]時(shí)，f（x）的最大值是1，最小值是-$\frac{1}{8}$，求a的值．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=1+$\frac{3}{2}$log₂x+$\frac{1}{2}$（log₂x）²，令t=log₂x，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）由題設(shè)條件，推導(dǎo)出=$\frac{1}{2}$（log_ax+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，設(shè)t=log_ax，則f（t）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，利用二次函數(shù)的性質(zhì)能求出結(jié)果．

解答 解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=$\frac{1}{2}$log₂2x•log₂4x=$\frac{1}{2}$（1+log₂x）（2+log₂x）=1+$\frac{3}{2}$log₂x+$\frac{1}{2}$（log₂x）²，（x＞0）
設(shè)t=log₂x，f（t）=$\frac{1}{2}$t²+$\frac{3}{2}$t+1，
由二次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)t∈（-∞，-$\frac{3}{2}$），函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)t∈（$\frac{3}{2}$，+∞）時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，
∴當(dāng)log₂x=-$\frac{3}{2}$，即x=$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，$\frac{\sqrt{2}}{4}$），單調(diào)遞減區(qū)間為（$\frac{\sqrt{2}}{4}$，+∞）；
（2）f（x）=$\frac{1}{2}$log_a（ax）•log_a（a²x），
=$\frac{1}{2}$（1+log_ax）（2+log_ax），
=1+$\frac{3}{2}$log_ax+$\frac{1}{2}$（log_ax）²，
=$\frac{1}{2}$（log_ax+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
令t=log_ax，
則f（t）=$\frac{1}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$，
x∈[2，8]時(shí)，f（x）的最大值是1，最小值是-$\frac{1}{8}$，
∴l(xiāng)og_a8≤log_a8≤log_ax＜0，
0＜a＜1，log_a8≤t≤log_ax，
∴當(dāng)x=8時(shí)f（x）取最大值f（8）=$\frac{1}{2}$（8+$\frac{3}{2}$）²-$\frac{1}{8}$=1，
解得：log_a8=-3或log_a8=0（舍），
∴a=$\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，一元二次函數(shù)的性質(zhì)，考查換元法的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．