Question

如圖，已知四棱錐P-ABCD，底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱PA⊥底面ABCD，且PA=2，E為AB的中點．
（Ⅰ）求證二面角E-PC-D為直二面角；
（Ⅱ）求點D到面PEC的距離．

Answer 1

【答案】分析：（I）取PC、PD的中點F、G，連接EF、FG、AG．由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出CD⊥面PAD，從而得到CD⊥AG，結(jié)合等腰Rt△PAD中AG⊥PD得到AG⊥面PCD．再由平行四邊形的性質(zhì)和三角形中位線定理，證出四邊形AEFG為平行四邊，可得EF∥AG，從而EF⊥面PCD，結(jié)合EF?面PEC，可得面PEC⊥面PCD，所以二面角E-PC-D為直二面角；
（II）在RT△PCD中DH⊥PD，垂足為H．由線面垂直的判定與性質(zhì)，證出DH⊥面PCE，即DH的長度為點D到面PEC的距離．再由平面幾何解三角形的知識，結(jié)合題中數(shù)據(jù)和位置關(guān)系加以計算，求得DH=，即得點D到面PEC的距離．
解答：解：（Ⅰ）取PC、PD的中點F、G，連接EF、FG、AG．
∵PA⊥面ABCD，CD?面ACBD，
∴PA⊥CD，
∵AD⊥CD，PA∩AD=A，∴CD⊥面PAD，
又∵AG?面PAD，∴CD⊥AG．（2分）
∵AG是等腰Rt△PAD斜邊PD上的中線，
∴AG⊥PD，（3分）
∴結(jié)合 PD∩AD=D，可得AG⊥面PCD．（4分）
∵FG是△PCD的中位線，
∴FG∥CD且FG=CD，
又∵平行四邊形ABCD中，AE∥CD且AE=CD，
∴FGAE，即四邊形AEFG為平行四邊．
∴EF∥AG，（6分）
∴EF⊥面PCD，（7分）
又∵EF?面PEC，∴面PEC⊥面PCD，
即二面角E-PC-D為直二面角．（8分）
（Ⅱ）如圖，在RT△PCD中DH⊥PD，垂足為H．
∵面PEC⊥面PCD，且DH垂直于它們的交線，
∴DH⊥面PCE，即DH的長度為點D到面PEC的距離．（10分）
在RT△PCD中，，
∴，
即點D到面PEC的距離．（12分）
點評：本題在四棱錐中求證線面面垂直，并求點到平面的距離，著重考查了線面垂直的判定與性質(zhì)、三角形中位線定理和平行四邊形的性質(zhì)，考查了空間的點面距離的定義與求法，屬于中檔題．