20.若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),但當(dāng)x>0時,f(x)=$\frac{1}{x+1}$-log2(x+1),則滿足4f(x+1)>7的實數(shù)x的取值范圍是( 。
A.(2,+∞)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-4,2)D.(-∞,-4)

分析 先求出函數(shù)f(x)的解析式,再利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性,結(jié)合f(-3)=$\frac{7}{4}$,求得x的范圍.

解答 解:∵函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),∴f(0)=0.
∵函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減,故函數(shù)f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減.
設(shè)x<0,則-x>0,∵當(dāng)x>0時,f(x)=$\frac{1}{x+1}$-log2(x+1),
∴f(-x)=$\frac{1}{1-x}$-log2(1-x)=-f(x),∴f(x)=$\frac{1}{x-1}$+log2(1-x),
故有f(x)=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{x+1}{-log}_{2}(x+1),x>0}\\{0,x=0}\\{\frac{1}{x-1}{+log}_{2}(1-x),x<0}\end{array}\right.$,它的單調(diào)性示意圖如圖所示:
故當(dāng)x>0時,f(x)<1;當(dāng) x<0時,f(x)>-1.
∵f(3)=-$\frac{7}{4}$,∴f(-3)=$\frac{7}{4}$,
不等式4f(x+1)>7,即 f(x+1)>$\frac{7}{4}$=f(3),
若x+1>0,f(x+1)>$\frac{7}{4}$ 不可能;
若x+1<0,則x+1<-3,∴x<-4,即實數(shù)x的取值范圍為(-∞,-4),
故選:D.

點評 本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性的應(yīng)用,求函數(shù)的解析式,解不等式,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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(1)求證:平面PAB⊥平面ABCD;
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A.($\frac{1}{ln2}$-2,$\frac{1}{ln3}$-$\frac{4}{3}$)B.($\frac{1}{ln2}$-2,$\frac{1}{ln3}$-$\frac{4}{3}$]C.($\frac{1}{ln3}$-$\frac{4}{3}$,$\frac{1}{2ln2}$-1]D.($\frac{1}{ln3}$-$\frac{4}{3}$,$\frac{1}{2ln2}$-1)

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9.對于函數(shù)f(x)=xex有以下命題:
①函數(shù)f(x)只有一個零點; 
②函數(shù)f(x)最小值為-e; 
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其中正確的命題是(只填序號)①③.

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10.一個幾何體的三視圖如圖所示,則這個幾何體是( 。
A.B.C.D.

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同步練習(xí)冊答案