Question

5．（理科）如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD為菱形，且∠ABC=60°，AB=PC=2，PA=PB=$\sqrt{2}$，
（1）求證：平面PAB⊥平面ABCD；
（2）求二面角P-AC-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取AB中點O，連結PO，CO，依題意，可證PO⊥平面ABC，從而可證得平面PAB⊥平面ABCD；
（2）以O為原點，OC，OB，OP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，可求得C、A、B、P各點的坐標，從而可得：$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），$\overrightarrow{AP}$=（0，1，1），設平面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），可求得此坐標$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1，1），而平面BAC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），設二面角P-AC-B大小為θ，由cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$可求得答案．

解答 解：（1）證明：取AB中點O，連結PO，CO，

由PA=PB=$\sqrt{2}$，AB=2，知△PAB為等腰直角三角形，
∴PO=1，PO⊥AB，由AB=BC=2，∠ABC=60°，知△ABC為等邊三角形，
∴CO=$\sqrt{3}$，由PC=2得PO²+CO²=PC²，∴PO⊥CO，
又AB∩CO=O，∴PO⊥平面ABC，又PO?平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD；
（2）如圖所示，以O為原點，OC，OB，OP所在的直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

則C（$\sqrt{3}$，0，0），B（0，1，0），P（0，0，1），A（0，-1，0）得：$\overrightarrow{AC}$=（$\sqrt{3}$，1，0），
$\overrightarrow{AP}$=（0，1，1），設平面PAC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=\sqrt{3}x+y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AP}=y+z=0}\end{array}\right.$，取y=1，則x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，z=1，即$\overrightarrow{n}$=（$\frac{\sqrt{3}}{3}$，-1，1），
平面BAC的一個法向量為$\overrightarrow{m}$=（0，0，1），
設二面角P-AC-B大小為θ，易知其為銳角，
所以cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{n}•\overrightarrow{m}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{1}{\sqrt{\frac{1}{3}+1+1}}$=$\frac{\sqrt{21}}{7}$．

點評 本題考查二面角的平面角的求法，著重考查面面垂直的判定與向量法求二面角，考查作圖能力、推理證明能力與運算能力，屬于難題．