分析 (Ⅰ)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(Ⅱ)由f(A)=√32求得A,利用余弦定理,基本不等式求得b+c的最大值,可得△ABC的周長的最大值.
解答 解:(Ⅰ)由題可知f(x)=√3sin2x+sinxcosx-√32=√3•1−cos2x2+12sin2x-√32=sin(2x-\frac{π}{3}),
令2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2},可得kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12},
可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-\frac{π}{12},kπ+\frac{5π}{12}],k∈Z.
(Ⅱ)由f(A)=\frac{\sqrt{3}}{2}=sin(2A-\frac{π}{3}),A為銳角,∴2A-\frac{π}{3}=\frac{2π}{3},或2A-\frac{π}{3}=\frac{π}{3},
解得A=\frac{π}{2} (舍去),或A=\frac{π}{3},∴a2=4=b2+c2-2bc•cosA=(b+c)2-3bc,
∴{({b+c})^2}-\frac{{3{{({b+c})}^2}}}{4}≤4,∴b+c≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,取等號,故b+c的最大值為4,
∴△ABC的周長的最大值為6.
點評 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦定理,基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.
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A. | (1,+∞) | B. | (-∞,-1) | C. | (-1,1) | D. | (-∞,-1)∪(1,+∞) |
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x | 2 | 4 | 5 | 6 | 8 |
y | 30 | 40 | n | 50 | 70 |
A. | 45 | B. | 50 | C. | 55 | D. | 60 |
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