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14.已知f(x)=3sin2x+sinxcosx-32
(Ⅰ)求f(x)的單調(diào)增區(qū)間;
(Ⅱ)在△ABC中,A為銳角且f(A)=32,a=2,求△ABC周長的最大值.

分析 (Ⅰ)利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式,再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性,求得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間.
(Ⅱ)由f(A)=32求得A,利用余弦定理,基本不等式求得b+c的最大值,可得△ABC的周長的最大值.

解答 解:(Ⅰ)由題可知f(x)=3sin2x+sinxcosx-32=31cos2x2+12sin2x-32=sin(2x-\frac{π}{3}),
令2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2},可得kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12},
可得函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-\frac{π}{12},kπ+\frac{5π}{12}],k∈Z.
(Ⅱ)由f(A)=\frac{\sqrt{3}}{2}=sin(2A-\frac{π}{3}),A為銳角,∴2A-\frac{π}{3}=\frac{2π}{3},或2A-\frac{π}{3}=\frac{π}{3},
解得A=\frac{π}{2} (舍去),或A=\frac{π}{3},∴a2=4=b2+c2-2bc•cosA=(b+c)2-3bc,
{({b+c})^2}-\frac{{3{{({b+c})}^2}}}{4}≤4,∴b+c≤4,當(dāng)且僅當(dāng)b=c時,取等號,故b+c的最大值為4,
∴△ABC的周長的最大值為6.

點評 本題主要考查三角恒等變換,正弦函數(shù)的單調(diào)性,余弦定理,基本不等式的應(yīng)用,屬于中檔題.

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 x 2 4
 y 30 4050 70 
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